Упр.30.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(x)-cos(x)=0; 5) sin(x/3)+5cos(x/3)=0;
2) v3sin(x)+cos(x)=0; 6) sin^2(x)-5sin(x)cos(x)+4cos^2(x)=0;
3) 3sin(x)=2cos(x); 7) sin^2(x/2)-3sin(x/2)cos(x/2)+2cos^2(x/2)=0;
4) 4cos(2x)-sin(2x)=0; 8) 3sin^2(x)-2v3sin(x)cos(x)+cos^2(x)=0.

1. $$\sin x-\cos x=0$$
   $$\sin x=\cos x$$
   $$\tg x=1$$
   $$x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sqrt3\sin x+\cos x=0$$
   $$\sqrt3\tg x+1=0$$
   $$\tg x=-\frac{1}{\sqrt3}$$
   $$x=\arctg\!\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)+\pi n=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$3\sin x=2\cos x$$
   $$3\tg x=2$$
   $$\tg x=\frac23$$
   $$x=\arctg\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$4\cos 2x-\sin 2x=0$$
   $$4-\tg 2x=0$$
   $$\tg 2x=4$$
   $$2x=\arctg 4+\pi n$$
   $$x=\frac12\arctg 4+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\sin\frac{x}{3}+5\cos\frac{x}{3}=0$$
   $$\tg\frac{x}{3}+5=0$$
   $$\tg\frac{x}{3}=-5$$
   $$\frac{x}{3}=\arctg(-5)+\pi n$$
   $$x=-3\arctg 5+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\sin^2 x-5\sin x\cos x+4\cos^2 x=0$$
   $$\tg^2 x-5\tg x+4=0$$
   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
   $$y^2-5y+4=0$$
   $$\left(y-1\right)\left(y-4\right)=0$$
   $$y_1=1,\quad y_2=4.$$
   Значит,
   $$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=4.$$
   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

7. $$\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+2\cos^2\frac{x}{2}=0$$
   $$\tg^2\frac{x}{2}-3\tg\frac{x}{2}+2=0$$
   Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда
   $$y^2-3y+2=0$$
   $$\left(y-1\right)\left(y-2\right)=0$$
   $$y_1=1,\quad y_2=2.$$
   Значит,
   $$\tg\frac{x}{2}=1 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=2.$$
   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=2\arctg 2+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

8. $$3\sin^2 x-2\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
   $$3\tg^2 x-2\sqrt3\tg x+1=0$$
   $$\left(\sqrt3\tg x-1\right)^2=0$$
   $$\sqrt3\tg x=1$$
   $$\tg x=\frac{1}{\sqrt3}$$
   $$x=\arctg\frac{1}{\sqrt3}+\pi n=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; 2) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$; 3) $$x=\arctg\frac23+\pi n$$; 4) $$x=\frac12\arctg 4+\frac{\pi n}{2}$$; 5) $$x=-3\arctg 5+3\pi n$$; 6) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 4+\pi n$$; 7) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ 2\arctg 2+2\pi n$$; 8) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$