Упр.30.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sin x-\cos x=0$$; 5) $$\sin\frac{x}{3}+5\cos\frac{x}{3}=0$$; 2) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$; 6) $$\sin^2 x-5\sin x\cos x+4\cos^2 x=0$$; 3) $$3\sin x=2\cos x$$; 7) $$\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+2\cos^2\frac{x}{2}=0$$; 4) $$4\cos 2x-\sin 2x=0$$; 8) $$3\sin^2 x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$.

1) $$\sin x-\cos x=0$$

$$\sin x=\cos x$$

Делим на $$\cos x$$:

$$\tg x=1$$

$$x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\sqrt3\sin x+\cos x=0$$

Делим на $$\cos x$$:

$$\sqrt3\,\tg x+1=0$$

$$\tg x=-\frac{1}{\sqrt3}$$

$$x=\arctg\!\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)+\pi n=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3) $$3\sin x=2\cos x$$

Делим на $$\cos x$$:

$$3\tg x=2$$

$$\tg x=\frac23$$

$$x=\arctg\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4) $$4\cos 2x-\sin 2x=0$$

Делим на $$\cos 2x$$:

$$4-\tg 2x=0$$

$$\tg 2x=4$$

$$2x=\arctg 4+\pi n$$

$$x=\frac12\arctg 4+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

5) $$\sin\frac{x}{3}+5\cos\frac{x}{3}=0$$

Делим на $$\cos\frac{x}{3}$$:

$$\tg\frac{x}{3}+5=0$$

$$\tg\frac{x}{3}=-5$$

$$\frac{x}{3}=\arctg(-5)+\pi n$$

$$x=-3\arctg 5+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

6) $$\sin^2 x-5\sin x\cos x+4\cos^2 x=0$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-5\tg x+4=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда:

$$y^2-5y+4=0$$

$$\left(y-1\right)\left(y-4\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=4$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

7) $$\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+2\cos^2\frac{x}{2}=0$$

Делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$\tg^2\frac{x}{2}-3\tg\frac{x}{2}+2=0$$

Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда:

$$y^2-3y+2=0$$

$$\left(y-1\right)\left(y-2\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg\frac{x}{2}=1 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=2$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\arctg 2+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=2\arctg 2+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

8) $$3\sin^2 x-2\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$3\tg^2 x-2\sqrt3\,\tg x+1=0$$

$$\left(\sqrt3\,\tg x-1\right)^2=0$$

$$\sqrt3\,\tg x-1=0$$

$$\tg x=\frac{1}{\sqrt3}$$

$$x=\arctg\frac{1}{\sqrt3}+\pi n=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; 2) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$; 3) $$x=\arctg\frac23+\pi n$$; 4) $$x=\frac12\arctg 4+\frac{\pi n}{2}$$; 5) $$x=-3\arctg 5+3\pi n$$; 6) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 4+\pi n$$; 7) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ 2\arctg 2+2\pi n$$; 8) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.