Упр.30.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 6x^3-24x=0; 3) x^5+2x^4+8x+16=0;
2) x^3-5x^2+9x-45=0; 4) x^3-2x^2+2x-1=0.

1. $$6x^3-24x=0$$

   $$6x(x^2-4)=0$$

   $$6x(x-2)(x+2)=0$$

   Отсюда $$x=0$$, $$x=2$$ или $$x=-2$$.

2. $$x^3-5x^2+9x-45=0$$

   $$x^2(x-5)+9(x-5)=0$$

   $$\left(x^2+9\right)(x-5)=0$$

   Так как $$x^2+9 \ne 0$$ при любых действительных $$x$$, то

   $$x-5=0$$, значит $$x=5$$.

3. $$x^5+2x^4+8x+16=0$$

   $$x^4(x+2)+8(x+2)=0$$

   $$\left(x^4+8\right)(x+2)=0$$

   Так как $$x^4+8 \ne 0$$ при любых действительных $$x$$, то

   $$x+2=0$$, значит $$x=-2$$.

4. $$x^3-2x^2+2x-1=0$$

   $$x^2(x-2)+(2x-1)=0$$

   $$x^2(x-2)+(x-1)+(x-1)=0$$

   Удобнее сгруппировать так:

   $$x^3-2x^2+x+x-1=0$$

   $$x^2(x-2)+x(x-1)+(x-1)=0$$

   $$x^2(x-2)+(x-1)(x+1)=0$$

   Проверим разложение на множители:

   $$x^3-2x^2+2x-1=(x-1)(x^2-x+1)$$

   Тогда

   $$ (x-1)(x^2-x+1)=0 $$

   $$x-1=0$$ или $$x^2-x+1=0$$.

   Уравнение $$x^2-x+1=0$$ не имеет действительных корней, так как

   $$D= (-1)^2-4\cdot 1\cdot 1= -3<0.$$

   Значит, $$x=1$$.

Ответ

1) $$-2,\,0,\,2$$; 2) $$5$$; 3) $$-2$$; 4) $$1$$.