Упр.30.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos^2(x)-cos(x)+a-a^2=0; 2) sin^2(x)-(2a)sin(x)+2a^2-4a+4=0?

1. Рассмотрим уравнение

   $$\cos^2 x-\cos x+a-a^2=0.$$

   Это квадратное уравнение относительно $$\cos x$$. Найдём дискриминант:

   $$D=1-4(a-a^2)=1-4a+4a^2=(1-2a)^2\ge 0.$$

   Корни уравнения:

   $$\cos x=\frac{1\pm(1-2a)}{2}.$$

   Получаем:

   $$\cos x=a,$$

   $$\cos x=1-a.$$

   Чтобы уравнение имело корни, хотя бы одно из этих значений должно принадлежать отрезку $$[-1;1]$$.

   1) $$-1\le a\le 1.$$

   2) $$-1\le 1-a\le 1,$$ откуда

   $$0\le a\le 2.$$

   Объединяя условия, получаем:

   $$a\in[-1;2].$$

2. Рассмотрим уравнение

   $$\sin^2 x-2a\sin x+2a^2-4a+4=0.$$

   Это квадратное уравнение относительно $$\sin x$$. Найдём дискриминант:

   $$D=(2a)^2-4(2a^2-4a+4)=4a^2-8a^2+16a-16=-4(a-2)^2.$$

   Для существования корней нужно, чтобы $$D\ge 0$$:

   $$-4(a-2)^2\ge 0.$$

   Так как квадрат неотрицателен, это возможно только при

   $$a=2.$$

   Подставим $$a=2$$:

   $$\sin^2 x-4\sin x=0,$$

   $$\sin x(\sin x-4)=0.$$

   Отсюда $$\sin x=0$$ или $$\sin x=4$$. Второе невозможно, а первое даёт решения. Значит, при $$a=2$$ уравнение имеет корни.

Ответ

1) $$a\in[-1;2]$$; 2) $$a=2$$.