Упр.30.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- При каких значениях $$a$$ имеет корни уравнение:
1) $$\cos^2(x)-\cos(x)+a-a^2=0$$;
2) $$\sin^2(x)-(2a)\sin(x)+2a^2-4a+4=0$$?
1) Обозначим $$t=\cos x.$$ Тогда уравнение принимает вид
$$t^2-t+a-a^2=0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=1-4(a-a^2)=1-4a+4a^2=(1-2a)^2\ge 0.$$
Корни этого квадратного уравнения:
$$t_1=\frac{1-(1-2a)}{2}=a,$$
$$t_2=\frac{1+(1-2a)}{2}=1-a.$$
Чтобы уравнение имело корни по $$x$$, хотя бы один из корней $$t$$ должен принадлежать отрезку $$[-1;1].$$
Проверим:
$$-1\le a\le 1,$$
$$-1\le 1-a\le 1 \;\Rightarrow\; 0\le a\le 2.$$
Следовательно, уравнение имеет корни при
$$a\in[-1;2].$$
2) Обозначим $$t=\sin x.$$ Тогда получаем
$$t^2-2at+2a^2-4a+4=0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(2a)^2-4(2a^2-4a+4)=4a^2-8a^2+16a-16=-4(a-2)^2.$$
Для существования корней нужно $$D\ge 0,$$ значит
$$-4(a-2)^2\ge 0 \;\Rightarrow\; (a-2)^2=0 \;\Rightarrow\; a=2.$$
При $$a=2$$ уравнение имеет единственный корень
$$t=\frac{2a}{2}=2,$$
но $$\sin x\in[-1;1],$$ поэтому такой корень невозможен.
Значит, уравнение не имеет корней ни при каком значении $$a.$$
Ответ: 1) $$a\in[-1;2]$$; 2) значений $$a$$ нет.
