Упр.30.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin^2(x)-(3a-3)sin(x)+a(2a-3)=0;
2) cos^2(x)+2cos(x)+a^2-6a+10=0?

1) Обозначим $$t=\sin x.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$t^2-(3a-3)t+a(2a-3)=0.$$

Чтобы уравнение имело корни по $$t,$$ нужно, чтобы хотя бы один из его корней удовлетворял условию $$-1\le t\le 1.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(3a-3)^2-4a(2a-3)=9a^2-18a+9-8a^2+12a=(a-3)^2.$$

Корни уравнения:

$$t_{1,2}=\frac{3a-3\pm(a-3)}{2}.$$

Тогда

$$t_1=a,\qquad t_2=2a-3.$$

Для существования корней исходного уравнения нужно, чтобы хотя бы одно из чисел $$a$$ или $$2a-3$$ принадлежало отрезку $$[-1;1].$$

1) $$-1\le a\le 1.$$

2) $$-1\le 2a-3\le 1,$$ откуда

$$2\le 2a\le 4,$$

$$1\le a\le 2.$$

Объединяя полученные промежутки, имеем

$$a\in[-1;2].$$

2) Обозначим $$t=\cos x.$$ Тогда

$$t^2+2t+a^2-6a+10=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=2^2-4(a^2-6a+10)=4-4a^2+24a-40=-4(a^2-6a+9)=-4(a-3)^2.$$

Чтобы уравнение имело корни, необходимо $$D\ge 0.$$ Тогда

$$-4(a-3)^2\ge 0,$$

откуда

$$a=3.$$

При $$a=3$$ получаем

$$t^2+2t+1=0,$$

$$\left(t+1\right)^2=0,$$

$$t=-1,$$

а это допустимо, так как $$-1\le \cos x\le 1.$$

Ответ

1) $$a\in[-1;2]$$; 2) $$a=3$$.