Упр.30.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 30.20. Найдите все корни уравнения sin(x)+cos(x)=1, удовлетворяющие неравенству 0 < x < ?.

Преобразуем уравнение:

$$\sin x+\cos x=1$$

Возведём левую часть в квадрат через формулы половинного угла:

$$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\left(\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\right)=\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}$$

$$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-2\sin^2 \frac{x}{2}=0$$

$$2\sin \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)=0$$

Отсюда:

1) $$\sin \frac{x}{2}=0$$, тогда

$$\frac{x}{2}=\pi n,\quad x=2\pi n$$

2) $$\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}=0$$, тогда

$$\cos \frac{x}{2}=\sin \frac{x}{2}$$

$$\tan \frac{x}{2}=1$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

С учётом неравенства $$0<x<\pi$$ подходит только значение

$$x=\frac{\pi}{2}$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$