Упр.30.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите все корни уравнения $$\sin(x)+\cos(x)=1$$, удовлетворяющие неравенству $$0<x<?$$.

Преобразуем уравнение:

$$\sin x+\cos x=1$$

Возведём в квадрат обе части через формулы половинного угла:

$$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}$$

$$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2\sin^2\frac{x}{2}=0$$

$$2\sin\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)=0$$

Отсюда:

1. $$\sin\frac{x}{2}=0$$

   $$\frac{x}{2}=\pi n,\quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

2. $$\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}=0$$

   $$\cos\frac{x}{2}\neq 0,\quad 1-\tg\frac{x}{2}=0$$

   $$\tg\frac{x}{2}=1$$

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

С учётом неравенства $$0<x<\pi$$ получаем только одно значение:

$$x=\frac{\pi}{2}$$

Ответ: $$\frac{\pi}{2}$$