Упр.30.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$2\sin^2(x)-3\sin(x)+1=0$$;
   3) $$4\operatorname{tg}^2(x)-\operatorname{tg}(x)-3=0$$;
   2) $$2\cos^2(2x)-\cos(2x)-1=0$$;
   4) $$3\operatorname{ctg}^2\left(\frac{x}{3}\right)-\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{3}\right)-2=0$$.

1) Пусть $$y=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$2y^2-3y+1=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2\cdot 2}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=1.$$

1) Если $$\sin x=\frac12,$$ то

$$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\sin x=1,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) Пусть $$y=\cos 2x.$$ Тогда

$$2y^2-y-1=0.$$

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2\cdot 2}.$$

Получаем

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=1.$$

1) Если $$\cos 2x=-\frac12,$$ то

$$2x=\pm \arccos\!\left(-\frac12\right)+2\pi n=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\cos 2x=1,$$ то

$$2x=2\pi n,\qquad x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

3) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$4y^2-y-3=0.$$

$$D=1^2-4\cdot 4\cdot(-3)=1+48=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2\cdot 4}.$$

Следовательно,

$$y_1=-\frac34,\qquad y_2=1.$$

1) Если $$\tg x=-\frac34,$$ то

$$x=\arctg\!\left(-\frac34\right)+\pi n=-\arctg\frac34+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\tg x=1,$$ то

$$x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

4) Пусть $$y=\ctg\frac{x}{3}.$$ Тогда

$$3y^2-y-2=0.$$

$$D=1^2-4\cdot 3\cdot(-2)=1+24=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2\cdot 3}.$$

Получаем

$$y_1=-\frac23,\qquad y_2=1.$$

1) Если $$\ctg\frac{x}{3}=-\frac23,$$ то

$$\frac{x}{3}=\arctg\!\left(-\frac32\right)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

$$x=3\arctg\!\left(-\frac32\right)+3\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\ctg\frac{x}{3}=1,$$ то

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=-\arctg\frac34+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=3\arctg\!\left(-\frac32\right)+3\pi n,\ \frac{3\pi}{4}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$