Упр.30.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 2sin^2(x)-3sin(x)+1=0; 3) 4tg^2(x)-tg(x)-3=0;
2) 2cos^2(2x)-cos(2x)-1=0; 4) 3ctg^2(x/3)-ctg(x/3)-2=0.

Подробный ответ

$$2\sin^2 x-3\sin x+1=0$$
Пусть $$y=\sin x$$, тогда
$$2y^2-3y+1=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1.$$
$$y_1=\frac{3-1}{2\cdot 2}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{2\cdot 2}=1.$$
1) Если $$\sin x=\frac12,$$ то
$$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\sin x=1,$$ то
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos^2 2x-\cos 2x-1=0$$
Пусть $$y=\cos 2x$$, тогда
$$2y^2-y-1=0.$$
$$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9.$$
$$y_1=\frac{1-3}{2\cdot 2}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{1+3}{2\cdot 2}=1.$$
1) Если $$\cos 2x=-\frac12,$$ то
$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\cos 2x=1,$$ то
$$2x=2\pi n,\qquad x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$4\tg^2 x-\tg x-3=0$$
Пусть $$y=\tg x$$, тогда
$$4y^2-y-3=0.$$
$$D=1^2-4\cdot 4\cdot(-3)=1+48=49.$$
$$y_1=\frac{1-7}{2\cdot 4}=-\frac34,\qquad y_2=\frac{1+7}{2\cdot 4}=1.$$
1) Если $$\tg x=-\frac34,$$ то
$$x=\arctg\!\left(-\frac34\right)+\pi n=-\arctg\!\left(\frac34\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\tg x=1,$$ то
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$3\ctg^2\frac{x}{3}-\ctg\frac{x}{3}-2=0$$
Пусть $$y=\ctg\frac{x}{3}$$, тогда
$$3y^2-y-2=0.$$
$$D=1^2-4\cdot 3\cdot(-2)=1+24=25.$$
$$y_1=\frac{1-5}{2\cdot 3}=-\frac23,\qquad y_2=\frac{1+5}{2\cdot 3}=1.$$
1) Если $$\ctg\frac{x}{3}=-\frac23,$$ то
$$\frac{x}{3}=\arctg\!\left(-\frac32\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=3\arctg\!\left(-\frac32\right)+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\ctg\frac{x}{3}=1,$$ то
$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
значит
$$x=\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$