Упр.30.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 30.19. Найдите все корни уравнения 2cos^2(x)=sin(x), удовлетворяющие неравенству ?/2 < x < ?.

Преобразуем уравнение:

$$2\cos^2 x=\sin x$$

$$2(1-\sin^2 x)=\sin x$$

$$2-2\sin^2 x=\sin x$$

$$2\sin^2 x+\sin x-2=0$$

Обозначим $$y=\sin x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$2y^2+y-2=0$$

$$D=1+16=17$$

$$y=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$$

Проверим значения:

$$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}<-1$$

Это значение не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1]$$.

Остаётся:

$$\sin x=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$

Общее решение:

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{17}-1}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

По условию нужно взять корень на промежутке $$\frac{\pi}{2}

$$x=\pi-\arcsin\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$

Ответ

$$\pi-\arcsin\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$