Упр.30.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 30.18. Найдите сумму корней уравнения 2sin^2(x)+7cos(x)+2=0, принадлежащих промежутку [-?/2; 3?/2].

Преобразуем уравнение:

$$2\sin^2 x+7\cos x+2=0$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, получаем:

$$2(1-\cos^2 x)+7\cos x+2=0$$

$$2-2\cos^2 x+7\cos x+2=0$$

$$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда:

$$2y^2-7y-4=0$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{4}$$

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=4$$

Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, значение $$\cos x=4$$ не подходит. Остаётся:

$$\cos x=-\frac12$$

Решения этого уравнения:

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

На промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем корни:

$$x_1=\frac{2\pi}{3},\qquad x_2=\frac{4\pi}{3}$$

Их сумма равна:

$$x_1+x_2=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}=2\pi$$

Ответ

$$2\pi$$