Упр.30.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 30.17. Сколько корней уравнения cos(2x)+sin(x)=cos^2(x) принадлежат промежутку [-?; ?]?

Преобразуем уравнение:

$$\cos 2x+\sin x=\cos^2 x$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$2\cos^2 x-1+\sin x=\cos^2 x$$

$$\cos^2 x+\sin x-1=0$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, получаем:

$$1-\sin^2 x+\sin x-1=0$$

$$-\sin^2 x+\sin x=0$$

$$\sin x(\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$

1) Если $$\sin x=0$$, то

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

$$x=-\pi,\ 0,\ \pi$$

2) Если $$\sin x=1$$, то

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{2}$$

Итак, на указанном промежутке уравнение имеет 4 корня.

Ответ

4