Упр.30.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 3sin(x)+5cos(x)=-3; 2) 3v3sin(x)-5cos(x)=7.

Подробный ответ

$$3\sin x+5\cos x=-3$$
Используем формулы:
$$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}, \qquad \cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}.$$
Тогда
$$ 3\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} +5\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right) =-3\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right). $$
После преобразований получаем:
$$ 2\sin^2\frac{x}{2}-6\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-8\cos^2\frac{x}{2}=0. $$
Делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:
$$ 2\tan^2\frac{x}{2}-6\tan\frac{x}{2}-8=0. $$
Пусть $$y=\tan\frac{x}{2}$$. Тогда
$$ 2y^2-6y-8=0, $$
$$ y^2-3y-4=0. $$
$$ (y+1)(y-4)=0, $$
значит,
$$ y=-1 \quad \text{или} \quad y=4. $$
Тогда
$$ \tan\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$
$$ \tan\frac{x}{2}=4 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctan 4+\pi n \Rightarrow x=2\arctan 4+2\pi n. $$
$$3\sqrt{3}\sin x-5\cos x=7$$
Используем те же формулы:
$$ 3\sqrt{3}\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} -5\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right) =7\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right). $$
После преобразований получаем:
$$ 2\sin^2\frac{x}{2}-6\sqrt{3}\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+12\cos^2\frac{x}{2}=0. $$
Делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:
$$ 2\tan^2\frac{x}{2}-6\sqrt{3}\tan\frac{x}{2}+12=0. $$
Пусть $$y=\tan\frac{x}{2}$$. Тогда
$$ 2y^2-6\sqrt{3}y+12=0, $$
$$ y^2-3\sqrt{3}y+6=0. $$
$$ D=(3\sqrt{3})^2-4\cdot 6=27-24=3. $$
$$ y_{1,2}=\frac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{3}}{2}. $$
Следовательно,
$$ y_1=\sqrt{3}, \qquad y_2=2\sqrt{3}. $$
Тогда
$$ \tan\frac{x}{2}=\sqrt{3} \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n, $$
$$ \tan\frac{x}{2}=2\sqrt{3} \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctan(2\sqrt{3})+\pi n \Rightarrow x=2\arctan(2\sqrt{3})+2\pi n. $$