Упр.30.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите уравнение: 1) $$3\sin(x)-8\cos(x)=3$$; 2) $$2\sin(x)-5\cos(x)=3$$.
1) $$3\sin x-8\cos x=3.$$
Преобразуем левую часть через формулы половинного угла:
$$3\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-8\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=3\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right).$$
После преобразования получаем:
$$5\sin^2\frac{x}{2}+6\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-11\cos^2\frac{x}{2}=0.$$
Делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:
$$5\tg^2\frac{x}{2}+6\tg\frac{x}{2}-11=0.$$
Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда
$$5y^2+6y-11=0.$$
$$D=6^2+4\cdot 5\cdot 11=36+220=256,$$
$$y_{1,2}=\frac{-6\pm 16}{10}.$$
Отсюда
$$y_1=-\frac{11}{5},\qquad y_2=1.$$
Возвращаемся к замене:
$$\tg\frac{x}{2}=-\frac{11}{5}\quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=-\arctg\frac{11}{5}+\pi n,$$
$$x=-2\arctg\frac{11}{5}+2\pi n.$$
И
$$\tg\frac{x}{2}=1\quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
2) $$2\sin x-5\cos x=3.$$
Используем формулы половинного угла:
$$2\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-5\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=3\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right).$$
Получаем:
$$2\sin^2\frac{x}{2}+4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-8\cos^2\frac{x}{2}=0.$$
Делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:
$$2\tg^2\frac{x}{2}+4\tg\frac{x}{2}-8=0.$$
Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда
$$2y^2+4y-8=0,$$
$$y^2+2y-4=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 4=4+16=20,$$
$$y=\frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}=-1\pm \sqrt5.$$
Возвращаемся к замене:
$$\tg\frac{x}{2}=-1\pm \sqrt5,$$
$$\frac{x}{2}=\arctg(-1\pm \sqrt5)+\pi n,$$
$$x=2\arctg(-1\pm \sqrt5)+2\pi n.$$
Ответ
1) $$x=-2\arctg\frac{11}{5}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=2\arctg(-1\pm \sqrt5)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
