Упр.30.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 3sin(x)-8cos(x)=3; 2) 2sin(x)-5cos(x)=3.

Подробный ответ

$$3\sin x-8\cos x=3$$
Переходим к тангенсу половинного угла:
$$3\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-8\left(\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\right)=3\left(\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}\right)$$
$$5\sin^2 \frac{x}{2}+6\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-11\cos^2 \frac{x}{2}=0$$
Делим на $$\cos^2 \frac{x}{2}$$:
$$5\tan^2 \frac{x}{2}+6\tan \frac{x}{2}-11=0$$
Пусть $$y=\tan \frac{x}{2}$$. Тогда
$$5y^2+6y-11=0$$
$$D=6^2+4\cdot 5\cdot 11=256$$
$$y_{1,2}=\frac{-6\pm 16}{10}$$
$$y_1=-\frac{11}{5}, \quad y_2=1$$
Возвращаемся к замене:
$$\tan \frac{x}{2}=-\frac{11}{5} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=-\arctan \frac{11}{5}+\pi n$$
$$x=-2\arctan \frac{11}{5}+2\pi n$$
$$\tan \frac{x}{2}=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
$$2\sin x-5\cos x=3$$
Переходим к тангенсу половинного угла:
$$2\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-5\left(\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}\right)=3\left(\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}\right)$$
$$2\sin^2 \frac{x}{2}+4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-8\cos^2 \frac{x}{2}=0$$
Делим на $$\cos^2 \frac{x}{2}$$:
$$2\tan^2 \frac{x}{2}+4\tan \frac{x}{2}-8=0$$
Пусть $$y=\tan \frac{x}{2}$$. Тогда
$$2y^2+4y-8=0$$
$$y^2+2y-4=0$$
$$D=2^2+4\cdot 4=20$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{20}}{2}=-1\pm \sqrt{5}$$
Возвращаемся к замене:
$$\tan \frac{x}{2}=-1\pm \sqrt{5}$$
$$\frac{x}{2}=\arctan(-1\pm \sqrt{5})+\pi n$$
$$x=2\arctan(-1\pm \sqrt{5})+2\pi n$$