Упр.30.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 4ctg(x)-5sin(x)=0;
2) 4sin^2(2x)+7cos(2x)-2sin^2(x)=6;
3) 7+2sin(2x)+1,5(tg(x)+ctg(x))=0;
4) sin^2(x)=cos^4(x/2)-sin^4(x/2);
5) 2cos(4x)-2cos^2(x)=3cos(2x).

1. $$4\ctg x-5\sin x=0$$
   $$4\frac{\cos x}{\sin x}-5\sin x=0$$
   $$4\cos x-5\sin^2 x=0$$
   $$4\cos x-5(1-\cos^2 x)=0$$
   $$5\cos^2 x+4\cos x-5=0.$$
   Пусть $$y=\cos x$$, тогда
   $$5y^2+4y-5=0.$$
   $$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-5)=16+100=116=4\cdot 29,$$
   $$y=\frac{-4\pm\sqrt{116}}{10}=\frac{-2\pm\sqrt{29}}{5}.$$
   Значение $$\frac{-2-\sqrt{29}}{5}<-1$$ не подходит, поэтому $$\cos x=\frac{\sqrt{29}-2}{5}.$$ Тогда $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt{29}-2}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$4\sin^2 2x+7\cos 2x-2\sin^2 x=6$$
   $$4(1-\cos^2 2x)+7\cos 2x-2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=6$$
   $$4-4\cos^2 2x+7\cos 2x-1+\cos 2x-6=0$$
   $$4\cos^2 2x-8\cos 2x+3=0.$$
   Пусть $$y=\cos 2x$$, тогда
   $$4y^2-8y+3=0.$$
   $$D=64-48=16,$$
   $$y_1=\frac{8-4}{8}=\frac12,\qquad y_2=\frac{8+4}{8}=\frac32.$$
   Значение $$\frac32$$ не подходит, поэтому
   $$\cos 2x=\frac12.$$
   Тогда
   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$7+2\sin 2x+1{,}5(\tg x+\ctg x)=0$$
   $$7+2\sin 2x+\frac32\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right)=0$$
   $$7+2\sin 2x+\frac32\cdot \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=0$$
   $$7+2\sin 2x+\frac{3}{2\sin 2x}=0.$$
   Пусть $$y=\sin 2x$$, тогда
   $$7+2y+\frac{3}{2y}=0,$$
   $$14y+4y^2+3=0,$$
   $$4y^2+14y+3=0.$$
   $$D=14^2-4\cdot 4\cdot 3=196-48=148,$$
   $$y=\frac{-14\pm \sqrt{148}}{8}=\frac{-7\pm \sqrt{37}}{4}.$$
   Из них только
   $$\frac{-7+\sqrt{37}}{4}$$
   лежит в промежутке $$[-1;1]$$, значит
   $$\sin 2x=\frac{-7+\sqrt{37}}{4}.$$
   Тогда
   $$2x=(-1)^n\arcsin\frac{-7+\sqrt{37}}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac{-7+\sqrt{37}}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin^2 x=\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}$$
   $$\sin^2 x=\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)$$
   $$\sin^2 x=\cos x.$$
   Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, получаем
   $$1-\cos^2 x=\cos x,$$
   $$\cos^2 x+\cos x-1=0.$$
   Пусть $$y=\cos x$$, тогда
   $$y^2+y-1=0.$$
   $$D=1+4=5,$$
   $$y=\frac{-1\pm \sqrt5}{2}.$$
   Значение $$\frac{-1-\sqrt5}{2}<-1$$ не подходит, поэтому $$\cos x=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$ Тогда $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$2\cos 4x-2\cos^2 x=3\cos 2x$$
   $$2(2\cos^2 2x-1)-2\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=3\cos 2x$$
   $$4\cos^2 2x-2-1-\cos 2x=3\cos 2x$$
   $$4\cos^2 2x-4\cos 2x-3=0.$$
   Пусть $$y=\cos 2x$$, тогда
   $$4y^2-4y-3=0.$$
   $$D=16+48=64,$$
   $$y_1=\frac{4-8}{8}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{4+8}{8}=\frac32.$$
   Значение $$\frac32$$ не подходит, поэтому
   $$\cos 2x=-\frac12.$$
   Тогда
   $$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt{29}-2}{5}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac{-7+\sqrt{37}}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
4) $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
5) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$