Упр.30.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 4cos(x)sin(x)=tg(x)+ctg(x);
2) 3cos(x)+2tg(x)=0;
3) 8sin^2(x)+4sin^2(2x)+8cos(2x)=5;
4) 3+5cos(x)=sin^4(x)-cos^4(x);
5) cos(2x)-9cos(x)+6=4sin^2(x/2).

1. $$4\cos x\sin x=\tg x+\ctg x$$

   $$4\cos x\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$$
   $$4\sin^2 x\cos^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x$$
   $$4\sin^2 x\cos^2 x=1$$
   $$\sin^2 2x=1$$
   $$\sin 2x=\pm 1$$
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

2. $$3\cos x+2\tg x=0$$

   $$3\cos x+2\frac{\sin x}{\cos x}=0$$
   $$3\cos^2 x+2\sin x=0$$
   $$3(1-\sin^2 x)+2\sin x=0$$
   $$3\sin^2 x-2\sin x-3=0$$

   Пусть $$y=\sin x$$, тогда

   $$3y^2-2y-3=0$$
   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=40$$
   $$y=\frac{2\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{10}}{3}$$

   $$\frac{1+\sqrt{10}}{3}>1,$$
   поэтому это значение не подходит.

   $$\sin x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$
   $$x=(-1)^n\arcsin\frac{1-\sqrt{10}}{3}+\pi n$$

3. $$8\sin^2 x+4\sin^2 2x+8\cos 2x=5$$

   $$\sin^2 2x=1-\cos^2 2x,\qquad \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$
   $$8\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}+4(1-\cos^2 2x)+8\cos 2x=5$$
   $$4-4\cos 2x+4-4\cos^2 2x+8\cos 2x=5$$
   $$4\cos^2 2x-4\cos 2x-3=0$$

   Пусть $$y=\cos 2x$$, тогда

   $$4y^2-4y-3=0$$
   $$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=64$$
   $$y_1=\frac{4-8}{8}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{4+8}{8}=\frac32$$

   $$\cos 2x=\frac32$$
   не имеет решений.

   $$\cos 2x=-\frac12$$
   $$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$
   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$

4. $$3+5\cos x=\sin^4 x-\cos^4 x$$

   $$\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)$$
   $$\sin^4 x-\cos^4 x=\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x$$
   $$3+5\cos x=-\cos 2x$$
   $$3+5\cos x=-(2\cos^2 x-1)$$
   $$2\cos^2 x+5\cos x+2=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$, тогда

   $$2y^2+5y+2=0$$
   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9$$
   $$y_1=\frac{-5-3}{4}=-2,\qquad y_2=\frac{-5+3}{4}=-\frac12$$

   $$\cos x=-2$$
   не имеет решений.

   $$\cos x=-\frac12$$
   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

5. $$\cos 2x-9\cos x+6=4\sin^2\frac{x}{2}$$

   $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,\qquad 4\sin^2\frac{x}{2}=2-2\cos x$$
   $$2\cos^2 x-1-9\cos x+6=2-2\cos x$$
   $$2\cos^2 x-7\cos x+3=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$, тогда

   $$2y^2-7y+3=0$$
   $$D=7^2-4\cdot 2\cdot 3=25$$
   $$y_1=\frac{7-5}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{7+5}{4}=3$$

   $$\cos x=3$$
   не имеет решений.

   $$\cos x=\frac12$$
   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$;
2) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{1-\sqrt{10}}{3}+\pi n$$;
3) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$;
4) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$;
5) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.