Упр.30.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$4\cos(x)\sin(x)=\tg(x)+\ctg(x)$$;
   2) $$3\cos(x)+2\tg(x)=0$$;
   3) $$8\sin^2(x)+4\sin^2(2x)+8\cos(2x)=5$$;
   4) $$3+5\cos(x)=\sin^4(x)-\cos^4(x)$$;
   5) $$\cos(2x)-9\cos(x)+6=4\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$$.

1) $$4\cos x\sin x=\tg x+\ctg x$$

Умножим обе части на $$\sin x\cos x$$:

$$4\sin^2 x\cos^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Тогда

$$\sin^2 2x=1,$$

откуда

$$\sin 2x=\pm 1.$$

Следовательно,

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$3\cos x+2\tg x=0$$

Умножим на $$\cos x$$:

$$3\cos^2 x+2\sin x=0.$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, получаем

$$3(1-\sin^2 x)+2\sin x=0,$$

$$3\sin^2 x-2\sin x-3=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$3y^2-2y-3=0.$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=40,$$

$$y=\frac{2\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{10}}{3}.$$

Значение $$\frac{1+\sqrt{10}}{3}>1$$ не подходит, поэтому

$$\sin x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{1-\sqrt{10}}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$8\sin^2 x+4\sin^2 2x+8\cos 2x=5$$

Используем формулы $$\sin^2 2x=1-\cos^2 2x$$ и $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:

$$8\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}+4(1-\cos^2 2x)+8\cos 2x=5,$$

$$4-4\cos 2x+4-4\cos^2 2x+8\cos 2x=5,$$

$$4\cos^2 2x-4\cos 2x-3=0.$$

Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда

$$4y^2-4y-3=0.$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=64,$$

$$y=\frac{4\pm 8}{8}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac32.$$

Значение $$\frac32$$ не подходит, значит

$$\cos 2x=-\frac12.$$

Тогда

$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$3+5\cos x=\sin^4 x-\cos^4 x$$

Преобразуем правую часть:

$$\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)=-\cos 2x.$$

Тогда

$$3+5\cos x=-\cos 2x.$$

Так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$, получаем

$$3+5\cos x=-(2\cos^2 x-1),$$

$$2\cos^2 x+5\cos x+2=0.$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+5y+2=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9,$$

$$y=\frac{-5\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=-2,\qquad y_2=-\frac12.$$

Значение $$-2$$ не подходит, значит

$$\cos x=-\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5) $$\cos 2x-9\cos x+6=4\sin^2\frac{x}{2}$$

Используем формулы $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ и $$4\sin^2\frac{x}{2}=2-2\cos x$$:

$$2\cos^2 x-1-9\cos x+6=2-2\cos x,$$

$$2\cos^2 x-7\cos x+3=0.$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2-7y+3=0.$$

$$D=7^2-4\cdot 2\cdot 3=25,$$

$$y=\frac{7\pm 5}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=3.$$

Значение $$3$$ не подходит, значит

$$\cos x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$; 2) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{1-\sqrt{10}}{3}+\pi n$$; 3) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$; 4) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; 5) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.