Упр.30.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 30.12. Найдите наименьший положительный корень уравнения sin(x)cos(x)+cos^2(x)=0.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\sin x \cdot \cos x+\cos^2 x=0$$

Вынесем общий множитель $$\cos x$$:

$$\cos x(\sin x+\cos x)=0$$

Отсюда получаем два уравнения:

1. $$\cos x=0$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

2. $$\sin x+\cos x=0$$

   Разделим на $$\cos x$$:

   $$\tg x+1=0$$

   $$\tg x=-1$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Найдём наименьший положительный корень. Из первого семейства получаем $$x=\frac{\pi}{2}$$, из второго — $$x=\frac{3\pi}{4}$$. Наименьший положительный корень:

$$\frac{\pi}{2}$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$