Упр.30.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 30.11. Найдите наименьший положительный корень уравнения 6sin^2(x)+2sin^2(2x)=5.

Преобразуем уравнение:

$$6\sin^2 x+2\sin^2 2x=5.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$6\sin^2 x+2\cdot(2\sin x\cos x)^2=5,$$

$$6\sin^2 x+8\sin^2 x\cos^2 x=5.$$

Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$6\sin^2 x+8\sin^2 x(1-\sin^2 x)=5,$$

$$6\sin^2 x+8\sin^2 x-8\sin^4 x=5,$$

$$8\sin^4 x-14\sin^2 x+5=0.$$

Положим $$y=\sin^2 x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$8y^2-14y+5=0.$$

Найдём корни:

$$D=14^2-4\cdot 8\cdot 5=196-160=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{14\pm 6}{16}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{20}{16}=\frac54,$$

$$y_2=\frac{8}{16}=\frac12.$$

Так как $$y=\sin^2 x,$$ то $$0\le y\le 1,$$ значит значение $$y=\frac54$$ не подходит.

Остаётся:

$$\sin^2 x=\frac12,$$

$$\sin x=\pm \frac{1}{\sqrt2}.$$

Наименьший положительный корень соответствует значению

$$x=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{4}$$