Упр.30.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 30.10. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения sin^2(x)+0,5sin(2x)=1.

Преобразуем уравнение:

$$\sin^2 x+0{,}5\sin 2x=1$$

$$\sin^2 x+0{,}5\cdot 2\sin x\cos x=1$$

$$\sin^2 x+\sin x\cos x=1$$

Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся тождеством $$1-\sin^2 x=\cos^2 x$$:

$$\sin^2 x+\sin x\cos x-1=0$$

$$-\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(\sin x-\cos x)=0$$

Отсюда:

1) $$\cos x=0$$, тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

2) $$\sin x-\cos x=0$$, тогда

$$\sin x=\cos x$$

$$\tg x=1$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Найдём наибольший отрицательный корень. Среди решений

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

наибольшим отрицательным является

$$x=-\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$-\frac{\pi}{2}$$