Упр.30.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) 2sin^2(x)+sin(x)-1=0; 4) tg^2(x)-2tg(x)-3=0;
2) 2cos^2(x)-5cos(x)-3=0; 5) 3ctg^2(2x)+ctg(2x)-4=0;
3) sin^2(3x)+2sin(3x)-3=0; 6) 3cos^2(x/4)+5cos(x/4)-2=0.
$$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12$$
1) $$\sin x=-1$$, откуда
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\sin x=\frac12$$, откуда
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$2\cos^2 x-5\cos x-3=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2-5y-3=0$$
$$D=25+24=49$$
$$y_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{5+7}{4}=3$$
1) $$\cos x=-\frac12$$, откуда
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\cos x=3$$ — решений нет.
$$\sin^2 3x+2\sin 3x-3=0$$
Пусть $$y=\sin 3x$$. Тогда
$$y^2+2y-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1$$
1) $$\sin 3x=-3$$ — решений нет.
2) $$\sin 3x=1$$, откуда
$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$
$$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-2y-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$y_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{2+4}{2}=3$$
1) $$\tg x=-1$$, откуда
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\tg x=3$$, откуда
$$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$3\ctg^2 2x+\ctg 2x-4=0$$
Пусть $$y=\ctg 2x$$. Тогда
$$3y^2+y-4=0$$
$$D=1+48=49$$
$$y_1=\frac{-1-7}{6}=-\frac43,\qquad y_2=\frac{-1+7}{6}=1$$
1) $$\ctg 2x=-\frac43$$, откуда
$$2x=\arctg\!\left(-\frac34\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac12\arctg\!\left(-\frac43\right)+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\ctg 2x=1$$, откуда
$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
$$3\cos^2\frac{x}{4}+5\cos\frac{x}{4}-2=0$$
Пусть $$y=\cos\frac{x}{4}$$. Тогда
$$3y^2+5y-2=0$$
$$D=25+24=49$$
$$y_1=\frac{-5-7}{6}=-2,\qquad y_2=\frac{-5+7}{6}=\frac13$$
1) $$\cos\frac{x}{4}=-2$$ — решений нет.
2) $$\cos\frac{x}{4}=\frac13$$, откуда
$$\frac{x}{4}=\pm\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm4\arccos\frac13+8\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
2) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
3) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$;
4) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
5) $$x=\frac12\arctg\!\left(-\frac43\right)+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$;
6) $$x=\pm4\arccos\frac13+8\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.
