Упр.30.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$2\sin^2(x)+\sin(x)-1=0$$;
   4) $$\tg^2(x)-2\tg(x)-3=0$$;
   2) $$2\cos^2(x)-5\cos(x)-3=0$$;
   5) $$3\ctg^2(2x)+\ctg(2x)-4=0$$;
   3) $$\sin^2(3x)+2\sin(3x)-3=0$$;
   6) $$3\cos^2\left(\frac{x}{4}\right)+5\cos\left(\frac{x}{4}\right)-2=0$$.

1) Пусть $$y=\sin x.$$ Тогда

$$2y^2+y-1=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$

1) $$\sin x=-1,$$ откуда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x=\frac12,$$ откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда

$$2y^2-5y-3=0.$$

$$D=25+24=49,$$

$$y_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{5+7}{4}=3.$$

1) $$\cos x=-\frac12,$$ откуда

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x=3$$ — невозможно.

3) Пусть $$y=\sin 3x.$$ Тогда

$$y^2+2y-3=0.$$

$$D=4+12=16,$$

$$y_1=-3,\qquad y_2=1.$$

1) $$\sin 3x=-3$$ — невозможно.

2) $$\sin 3x=1,$$ откуда

$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

4) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-2y-3=0.$$

$$D=4+12=16,$$

$$y_1=-1,\qquad y_2=3.$$

1) $$\tg x=-1,$$ откуда

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\tg x=3,$$ откуда

$$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5) Пусть $$y=\ctg 2x.$$ Тогда

$$3y^2+y-4=0.$$

$$D=1+48=49,$$

$$y_1=-\frac43,\qquad y_2=1.$$

1) $$\ctg 2x=-\frac43,$$ откуда

$$2x=\operatorname{arcctg}\!\left(-\frac43\right)+\pi n,$$

$$x=\frac12\,\operatorname{arcctg}\!\left(-\frac43\right)+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\ctg 2x=1,$$ откуда

$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

6) Пусть $$y=\cos \frac{x}{4}.$$ Тогда

$$3y^2+5y-2=0.$$

$$D=25+24=49,$$

$$y_1=-2,\qquad y_2=\frac13.$$

1) $$\cos \frac{x}{4}=-2$$ — невозможно.

2) $$\cos \frac{x}{4}=\frac13,$$ откуда

$$\frac{x}{4}=\pm\arccos\frac13+2\pi n,$$

$$x=\pm 4\arccos\frac13+8\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n;\quad x=\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

5) $$x=\frac12\,\operatorname{arcctg}\!\left(-\frac43\right)+\frac{\pi n}{2};\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

6) $$x=\pm 4\arccos\frac13+8\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$