Упр.3.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите функцию, обратную к данной:
   1. $$y=\frac{x+2}{x}$$;
   2. $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$;
   3. $$y=\sqrt{x^2-4}$$, $$D(y)=[2;+\infty)$$.

1) Пусть $$y=\frac{x+2}{x}.$$ Тогда

$$yx=x+2,$$

$$yx-x=2,$$

$$x(y-1)=2,$$

$$x=\frac{2}{y-1}.$$

Меняем местами $$x$$ и $$y$$, получаем обратную функцию:

$$y=\frac{2}{x-1}.$$

2) Пусть $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}.$$ Тогда

$$y\sqrt{x}=1,$$

$$\sqrt{x}=\frac{1}{y},$$

$$x=\left(\frac{1}{y}\right)^2=\frac{1}{y^2}.$$

Следовательно, обратная функция:

$$y=\frac{1}{x^2}.$$

3) Пусть $$y=\sqrt{x^2-4}, \quad D(y)=[2;+\infty).$$ Тогда

$$y^2=x^2-4,$$

$$x^2=y^2+4.$$

Так как $$x\ge 2,$$ то берём положительный корень:

$$x=\sqrt{y^2+4}.$$

Меняем местами $$x$$ и $$y$$:

$$y=\sqrt{x^2+4}.$$

Ответ

1) $$y=\frac{2}{x-1}$$; 2) $$y=\frac{1}{x^2}$$; 3) $$y=\sqrt{x^2+4}$$.