Упр.3.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 3.13. Докажите, что функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.

Пусть $$f$$ — нечётная функция, а $$g$$ — функция, обратная к ней. Тогда

$$f(-x)=-f(x).$$

Так как функция $$f$$ нечётная, её область определения симметрична относительно нуля, а значит, и область значений тоже симметрична. Следовательно, область определения функции $$g$$ симметрична относительно нуля.

Возьмём произвольное $$y_0 \in D(g)$$. Тогда существует такое $$x_0$$, что

$$f(x_0)=y_0,$$

и по определению обратной функции

$$g(y_0)=x_0.$$

Рассмотрим значение функции $$g$$ в точке $$-y_0$$:

$$ g(-y_0)=g(-f(x_0))=g(f(-x_0))=-x_0. $$

Но $$x_0=g(y_0)$$, значит

$$g(-y_0)=-g(y_0).$$

Это и означает, что функция $$g$$ нечётная.

Ответ

Функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.