Упр.3.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 3.12. Докажите, что функция, обратная к линейной функции y=kx+b при k?0, также является линейной.

Пусть дана линейная функция $$y=kx+b,$$ где $$k\ne 0.$$

Найдём обратную к ней функцию. Для этого выразим $$x$$ через $$y$$:

$$ x=ky+b $$

$$ x-b=ky $$

$$ y=\frac{x-b}{k}=\frac{1}{k}x-\frac{b}{k} $$

Получили функцию вида $$y=k’x+b’,$$ где

$$ k’=\frac{1}{k}, \qquad b’=-\frac{b}{k}. $$

Так как $$k\ne 0,$$ то $$k’=\frac{1}{k}\ne 0.$$ Значит, обратная к линейной функции функция также является линейной.

Ответ

Обратная функция имеет вид $$y=\frac{1}{k}x-\frac{b}{k},$$ то есть является линейной.