Упр.3.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=3x-1; 2) y=x^2-4, если x?0; 3) y=(vx, если x?0),((1/2)x, если x < 0).

1. $$y=3x-1.$$

   Найдём обратную функцию: поменяем местами $$x$$ и $$y$$ и выразим $$y$$:

   $$ x=3y-1 $$
   $$ 3y=x+1 $$
   $$ y=\frac{x+1}{3} $$

   Для построения удобно взять точки исходной прямой, например:

   $$ x=0 \Rightarrow y=-1,\qquad x=2 \Rightarrow y=5 $$

   Тогда для обратной функции соответствующие точки будут:

   $$ (-1,0),\qquad (5,2) $$

   Графики функций симметричны относительно прямой $$y=x$$.

2. $$y=x^2-4,\quad x\ge 0.$$

   Найдём обратную функцию:

   $$ x=y^2-4 $$
   $$ y^2=x+4 $$
   $$ y=\sqrt{x+4} $$

   Берём только знак «плюс», так как у исходной функции $$x\ge 0$$, значит и у обратной функции $$y\ge 0$$.

   Область определения обратной функции:

   $$ x\ge -4 $$

   Для построения можно отметить точки исходной функции:

   $$ (0,-4),\ (1,-3),\ (2,0),\ (3,5) $$

   Соответствующие точки обратной функции:

   $$ (-4,0),\ (-3,1),\ (0,2),\ (5,3) $$

3. $$ y= \begin{cases} \sqrt{x}, & x\ge 0,\\ \frac12 x, & x<0. \end{cases} $$

   Найдём обратную функцию по частям.

   Для ветви $$y=\sqrt{x}$$, $$x\ge 0$$:

   $$ x=\sqrt{y} \Rightarrow y=x^2 $$

   Так как здесь $$y\ge 0$$, получаем часть обратной функции:

   $$ y=x^2,\quad x\ge 0 $$

   Для ветви $$y=\frac12 x$$, $$x<0$$:

   $$ x=\frac12 y \Rightarrow y=2x $$

   Так как здесь $$y<0$$, получаем вторую часть:

   $$ y=2x,\quad x<0 $$

   Итак, обратная функция:

   $$ y= \begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0. \end{cases} $$

Ответ

1) $$y=\frac{x+1}{3}$$;
2) $$y=\sqrt{x+4},\ x\ge -4$$;
3) $$ y= \begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0. \end{cases} $$