Упр.3.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1. $$y=3x-1$$;
2. $$y=x^2-4$$, если $$x?0$$;
3. $$y=\begin{cases}vx, & \text{если }x?0,\\ \frac{1}{2}x, & \text{если }x<0.\end{cases}$$

Функция и её обратная симметричны относительно прямой $$y=x$$. Поэтому для построения достаточно найти несколько точек исходного графика и отразить их относительно этой прямой.

1. $$y=3x-1$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=3y-1$$

   $$3y=x+1$$

   $$y=\frac{x+1}{3}$$

   Для построения можно взять точки исходной функции: $$(0,-1)$$ и $$(2,5)$$. Тогда для обратной функции получаем точки $$(-1,0)$$ и $$(5,2)$$.

2. $$y=x^2-4,\quad x\ge 0$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=y^2-4$$

   $$y^2=x+4$$

   $$y=\sqrt{x+4}$$

   Так как у исходной функции $$x\ge 0$$, то у обратной функции область определения: $$x\ge -4$$.

   Для построения можно взять точки исходной функции: $$(0,-4)$$, $$(1,-3)$$, $$(2,0)$$, $$(3,5)$$. Тогда точки обратной функции: $$(-4,0)$$, $$(-3,1)$$, $$(0,2)$$, $$(5,3)$$.

3. $$y= \begin{cases} \sqrt{x}, & x\ge 0,\\ \frac12 x, & x<0. \end{cases}$$

   Найдём обратную функцию по частям.

   Для $$x\ge 0$$: $$y=\sqrt{x} \Rightarrow x=y^2 \Rightarrow y=x^2$$, причём для обратной функции $$x\ge 0$$.

   Для $$x<0$$: $$y=\frac12 x \Rightarrow x=2y \Rightarrow y=2x$$, причём для обратной функции $$x<0$$.

   Значит, обратная функция имеет вид:

   $$y= \begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0. \end{cases}$$

   Для построения можно взять точки исходной функции: $$(1,1)$$, $$(4,2)$$, $$(9,3)$$ и $$(-4,-2)$$, $$(0,0)$$. Тогда точки обратной функции: $$(1,1)$$, $$(2,4)$$, $$(3,9)$$ и $$(-2,-4)$$, $$(0,0)$$.

Ответ

1) $$y=\frac{x+1}{3}$$;
2) $$y=\sqrt{x+4},\ x\ge -4$$;
3) $$y= \begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0. \end{cases}$$