Упр.3.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) y=-0,5x+2; 2) y=v(x+1); 3) y=(x, если x?0),(2x, если x < 0).

Подробный ответ

Для функции $$y=-0{,}5x+2$$ найдём обратную, поменяв местами $$x$$ и $$y$$:
$$x=-0{,}5y+2$$
$$-0{,}5y=x-2$$
$$y=-2x+4$$
Значит, нужно построить прямые $$y=-0{,}5x+2$$ и $$y=-2x+4$$. Для первой удобно взять точки $$\left(0;2\right)$$ и $$\left(4;0\right)$$, для второй — $$\left(0;4\right)$$ и $$\left(2;0\right)$$.
Для функции $$y=\sqrt{x+1}$$ найдём обратную:
$$x=\sqrt{y+1}$$
$$x^2=y+1$$
$$y=x^2-1$$
Так как у исходной функции $$y=\sqrt{x+1}$$ область значений $$y\ge 0$$, то у обратной функции область определения $$x\ge 0$$.
Итак, строим графики $$y=\sqrt{x+1}$$ и $$y=x^2-1,\ x\ge 0$$. Для первой функции можно взять точки $$\left(-1;0\right)$$, $$\left(0;1\right)$$, $$\left(3;2\right)$$, $$\left(8;3\right)$$. Для обратной — симметричные им точки $$\left(0;-1\right)$$, $$\left(1;0\right)$$, $$\left(2;3\right)$$, $$\left(3;8\right)$$.
Для функции
$$y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0 \end{cases}$$
найдём обратную по частям.
Если $$x\ge 0$$ и $$y=x$$, то обратная часть имеет вид $$y=x$$ при $$x\ge 0$$.
Если $$x<0$$ и $$y=2x$$, то $$x=\dfrac{y}{2}$$, значит обратная часть: $$y=\dfrac{x}{2}$$ при $$x<0$$.
Следовательно, обратная функция:
$$y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ \dfrac{x}{2}, & x<0 \end{cases}$$
Для построения можно использовать точки исходной функции: $$\left(0;0\right)$$, $$\left(4;4\right)$$, $$\left(-2;-4\right)$$, а для обратной — симметричные им относительно прямой $$y=x$$ точки $$\left(0;0\right)$$, $$\left(4;4\right)$$, $$\left(-4;-2\right)$$.