Упр.3.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:
   1) $$y=-0{,}5x+2$$;
   2) $$y=\sqrt{x+1}$$;
   3) $$y=\begin{cases}x, & \text{если } x\geq 0,\\2x, & \text{если } x<0.\end{cases}$$

1) Для функции $$y=-0{,}5x+2$$ найдём обратную, поменяв местами $$x$$ и $$y$$:

$$x=-0{,}5y+2$$

$$-0{,}5y=x-2$$

$$y=-2x+4$$

Чтобы построить графики, достаточно взять две точки исходной прямой, например:

$$x=0,\ y=2;\qquad x=4,\ y=0.$$

У обратной функции соответствующие точки будут:

$$x=2,\ y=0;\qquad x=0,\ y=4.$$

Графики функций симметричны относительно прямой $$y=x$$.

2) Для функции $$y=\sqrt{x+1}$$ найдём обратную:

$$x=\sqrt{y+1}$$

$$x^2=y+1$$

$$y=x^2-1.$$

Так как у исходной функции $$x\ge -1$$ и $$y\ge 0$$, то у обратной функции область определения: $$x\ge 0$$.

Для построения можно взять точки исходной функции:

$$x=0,\ y=1;\qquad x=3,\ y=2;\qquad x=8,\ y=3.$$

Тогда для обратной функции получаем точки:

$$x=1,\ y=0;\qquad x=2,\ y=3;\qquad x=3,\ y=8.$$

Графики также симметричны относительно прямой $$y=x$$.

3) Дана функция

$$y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ 2x, & x<0. \end{cases}$$

Найдём обратную по частям.

Если $$y=x$$ при $$x\ge 0$$, то обратная часть имеет вид $$y=x$$ при $$x\ge 0$$.

Если $$y=2x$$ при $$x<0$$, то

$$x=2y,\qquad y=\frac{x}{2}.$$

Так как здесь значения исходной функции отрицательны, то для обратной части нужно $$x<0$$.

Итак, обратная функция:

$$y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ \dfrac{x}{2}, & x<0. \end{cases}$$

Для построения исходной функции можно взять точки:

$$x=0,\ y=0;\qquad x=4,\ y=4;\qquad x=-2,\ y=-4.$$

Для обратной функции соответствующие точки:

$$x=0,\ y=0;\qquad x=4,\ y=4;\qquad x=-4,\ y=-2.$$

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $$y=x$$.

Ответ

1) $$y=-2x+4.$$

2) $$y=x^2-1,\quad x\ge 0.$$

3) $$y=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ \dfrac{x}{2}, & x<0. \end{cases}$$