Упр.29.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
1) $$y=\arcsin(x)+\frac{\pi}{2}$$;
2) $$y=2\arcsin(x)-\frac{\pi}{3}$$;
3) $$y=\arccos(x)+2$$;
4) $$y=\frac{1}{\arccos(x)}$$.
1) $$y=\arcsin x+\frac{\pi}{2}.$$
Так как $$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x\le \frac{\pi}{2},$$ то
$$0\le \arcsin x+\frac{\pi}{2}\le \pi.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$0,$$ а наибольшее — $$\pi.$$
2) $$y=\arccos x+2.$$
Так как $$0\le \arccos x\le \pi,$$ то
$$2\le \arccos x+2\le \pi+2.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$2,$$ а наибольшее — $$\pi+2.$$
3) $$y=2\arcsin x-\frac{\pi}{3}.$$
Так как $$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x\le \frac{\pi}{2},$$ то
$$-\pi\le 2\arcsin x\le \pi.$$
Вычтем $$\frac{\pi}{3}:$$
$$-\frac{4\pi}{3}\le 2\arcsin x-\frac{\pi}{3}\le \frac{2\pi}{3}.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-\frac{4\pi}{3},$$ а наибольшее — $$\frac{2\pi}{3}.$$
4) $$y=\frac{1}{\arccos x}.$$
Так как $$0\le \arccos x\le \pi,$$ причём $$\arccos x\ne 0,$$ то
$$0<\arccos x\le \pi.$$
Для положительных чисел при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется:
$$\frac{1}{\pi}\le \frac{1}{\arccos x}.$$
Наибольшего значения функция не имеет, так как при $$x\to 1-$$ имеем $$\arccos x\to 0+$$ и $$\frac{1}{\arccos x}\to +\infty.$$
Ответ: 1) $$0,\ \pi$$; 2) $$2,\ \pi+2$$; 3) $$-\frac{4\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3}$$; 4) $$\frac{1}{\pi}$$, наибольшего нет.
