Упр.29.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите область определения функции:

1. $$y=\arccos(x+2);$$
2. $$y=\arcsin\sqrt{x};$$
3. $$y=\arctg\sqrt{x-3};$$
4. $$y=\arcctg(5-x);$$
5. $$y=\arcctg\left(\frac{?}{x+7}\right);$$
6. $$y=\arcsin(x-1)+\arctg\sqrt{x}.$$

Найдём область определения каждой функции, учитывая ограничения для обратных тригонометрических функций и корней.

1. $$y=\arccos(x+2)$$

   Для функции $$\arccos t$$ нужно, чтобы $$-1\le t\le 1$$. Тогда

   $$-1\le x+2\le 1$$

   $$-3\le x\le -1$$

   Ответ: $$D(y)=[-3;\,-1].$$

2. $$y=\arcsin\sqrt{x}$$

   Для функции $$\arcsin t$$ нужно, чтобы $$-1\le t\le 1$$, а также подкоренное выражение было неотрицательным:

   $$0\le \sqrt{x}\le 1$$

   Отсюда

   $$0\le x\le 1$$

   Ответ: $$D(y)=[0;\,1].$$

3. $$y=\arctg\sqrt{x-3}$$

   Функция $$\arctg t$$ определена при любых $$t\in \mathbb{R}$$, поэтому нужно лишь, чтобы существовал корень:

   $$x-3\ge 0$$

   $$x\ge 3$$

   Ответ: $$D(y)=[3;\,+\infty).$$

4. $$y=\operatorname{arcctg}(5-x)$$

   Функция $$\operatorname{arcctg} t$$ определена при любых $$t\in \mathbb{R}$$, значит

   $$x\in \mathbb{R}$$

   Ответ: $$D(y)=(-\infty;\,+\infty).$$

5. $$y=\operatorname{arcctg}\frac{\pi}{x+7}$$

   Аргумент функции $$\operatorname{arcctg}$$ может быть любым действительным числом, но знаменатель дроби не должен обращаться в нуль:

   $$x+7\ne 0$$

   $$x\ne -7$$

   Ответ: $$D(y)=(-\infty;\,-7)\cup(-7;\,+\infty).$$

6. $$y=\arcsin(x-1)+\arctg\sqrt{x}$$

   Для первого слагаемого нужно:

   $$-1\le x-1\le 1$$

   $$0\le x\le 2$$

   Для второго слагаемого нужно:

   $$x\ge 0$$

   Пересечение условий:

   $$0\le x\le 2$$

   Ответ: $$D(y)=[0;\,2].$$