Упр.29.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Найдите область определения функции:
- 1) $$y=\arccos(x^2-10)$$; 4) $$y=\operatorname{arctg}\sqrt{x+5}$$;
- 2) $$y=\arcsin\left(\frac{1}{2x}\right)$$; 5) $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x+2}$$;
- 3) $$y=\operatorname{arctg}(4-x)$$; 6) $$y=\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)+\operatorname{arcctg}\sqrt{x-1}$$.
1) Для функции $$y=\arccos(x^2-10)$$ нужно, чтобы
$$-1\le x^2-10\le 1.$$
Решаем систему неравенств:
$$x^2-10\ge -1 \;\Rightarrow\; x^2\ge 9 \;\Rightarrow\; x\le -3 \text{ или } x\ge 3,$$
$$x^2-10\le 1 \;\Rightarrow\; x^2\le 11 \;\Rightarrow\; -\sqrt{11}\le x\le \sqrt{11}.$$
Пересечение этих множеств:
$$D(y)=[-\sqrt{11};-3]\cup[3;\sqrt{11}].$$
2) Для функции $$y=\arcsin\frac{1}{2x}$$ должно выполняться
$$-1\le \frac{1}{2x}\le 1,$$
то есть
$$\left|\frac{1}{2x}\right|\le 1 \;\Rightarrow\; \frac{1}{|2x|}\le 1 \;\Rightarrow\; |2x|\ge 1 \;\Rightarrow\; |x|\ge \frac12.$$
Кроме того, $$x\ne 0$$, что уже учтено.
Следовательно,
$$D(y)=(-\infty;-\tfrac12]\cup[\tfrac12;+\infty).$$
3) Для функции $$y=\arctg(4-x)$$ аргумент может принимать любые действительные значения, значит
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
4) Для функции $$y=\arctg\frac{\pi}{x+5}$$ нужно, чтобы дробь была определена:
$$x+5\ne 0,$$
то есть
$$x\ne -5.$$
Следовательно,
$$D(y)=(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).$$
5) Для функции $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x+2}$$ требуется
$$x+2\ge 0,$$
откуда
$$x\ge -2.$$
Значит,
$$D(y)=[-2;+\infty).$$
6) Для функции $$y=\arcsin\frac{1}{x}+\operatorname{arcctg}\sqrt{x-1}$$ нужно, чтобы были определены обе части.
Для $$\arcsin\frac{1}{x}$$:
$$-1\le \frac{1}{x}\le 1 \;\Rightarrow\; \left|\frac{1}{x}\right|\le 1 \;\Rightarrow\; |x|\ge 1.$$
Для $$\operatorname{arcctg}\sqrt{x-1}$$:
$$x-1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 1.$$
Пересечение условий:
$$D(y)=[1;+\infty).$$
Ответ:
1) $$[-\sqrt{11};-3]\cup[3;\sqrt{11}]$$; 2) $$(-\infty;-\tfrac12]\cup[\tfrac12;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty)$$; 5) $$[-2;+\infty)$$; 6) $$[1;+\infty).$$
