Упр.29.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) y=arccos(x^2-10); 4) y=arctg(?/(x+5));
2) y=arcsin(1/(2x)); 5) y=arcctgv(x+2);
3) y=arctg(4-x); 6) y=arcsin(1/x)+arcctgv(x-1).
$$y=\arccos(x^2-10)$$
Для функции $$\arccos t$$ нужно, чтобы
$$-1\le t\le 1.$$
Значит,
$$ -1\le x^2-10\le 1 $$
Решим двойное неравенство:
$$ x^2-10\ge -1 \Rightarrow x^2\ge 9 \Rightarrow x\le -3 \text{ или } x\ge 3 $$
$$ x^2-10\le 1 \Rightarrow x^2\le 11 \Rightarrow -\sqrt{11}\le x\le \sqrt{11} $$
Пересечение этих множеств:
$$D(y)=[-\sqrt{11};-3]\cup[3;\sqrt{11}].$$
$$y=\arcsin\frac{1}{2x}$$
Для функции $$\arcsin t$$ нужно, чтобы
$$-1\le t\le 1.$$
Следовательно,
$$ -1\le \frac{1}{2x}\le 1 $$
Это равносильно системе:
$$ \frac{1}{2x}\ge -1,\qquad \frac{1}{2x}\le 1 $$
Из первого неравенства получаем $$x\le -\frac12$$ или $$x>0$$, из второго — $$x<0$$ или $$x\ge \frac12$$.
Пересечение:
$$D(y)=(-\infty;-\tfrac12]\cup[\tfrac12;+\infty).$$
$$y=\arctg(4-x)$$
Функция $$\arctg t$$ определена при любых значениях $$t$$, значит
$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
$$y=\arctg\frac{\pi}{x+5}$$
Аргумент арктангенса должен быть определён, поэтому
$$ x+5\ne 0 $$
то есть
$$x\ne -5.$$
Следовательно,
$$D(y)=(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty).$$
$$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x+2}$$
Для корня нужно, чтобы
$$ x+2\ge 0 $$
то есть
$$x\ge -2.$$
Значит,
$$D(y)=[-2;+\infty).$$
$$y=\arcsin\frac{1}{x}+\operatorname{arcctg}\sqrt{x-1}$$
Найдём область определения каждого слагаемого.
Для $$\arcsin\frac{1}{x}$$ нужно:
$$ -1\le \frac{1}{x}\le 1 $$
Отсюда
$$x\le -1 \text{ или } x>0,$$
а также
$$x<0 \text{ или } x\ge 1.$$
Пересечение этих условий даёт
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$
Для $$\operatorname{arcctg}\sqrt{x-1}$$ нужно:
$$ x-1\ge 0 $$
то есть
$$x\ge 1.$$
Пересечение всех условий:
$$D(y)=[1;+\infty).$$
Ответ
1) $$[-\sqrt{11};-3]\cup[3;\sqrt{11}]$$;
2) $$(-\infty;-\tfrac12]\cup[\tfrac12;+\infty)$$;
3) $$(-\infty;+\infty)$$;
4) $$(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty)$$;
5) $$[-2;+\infty)$$;
6) $$[1;+\infty)$$.
