Упр.29.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите:

1. $$\operatorname{ctg}\left(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$;
2. $$\cos\left(2\arctg(1)\right)$$;
3. $$\cos\left(\frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$;
4. $$\operatorname{ctg}\left(2\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})\right)$$;
5. $$\sin\left(3\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$$;
6. $$\sin\left(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+2\arctg(1)\right)$$.

Вычислим значения выражений по очереди.

1. $$\ctg\left(\arcsin\frac{\sqrt2}{2}\right)=\ctg\frac{\pi}{4}=1.$$
2. $$\cos\left(2\arctg 1\right)=\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0.$$
3. $$\cos\left(\frac12\arcsin\frac{\sqrt3}{2}\right)=\cos\left(\frac12\cdot\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
4. $$\ctg\left(2\arcctg(-\sqrt3)\right)=\ctg\left(2\left(\pi-\arcctg\sqrt3\right)\right)=\ctg\left(2\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$
   $$=\ctg\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\ctg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\ctg\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{3}.$$
5. $$\sin\left(3\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\right)=\sin\left(-3\arcsin\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\sin\left(3\cdot\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\pi=0.$$
6. $$\sin\left(\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+2\arctg 1\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}+2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ответ: 1) $$1$$; 2) $$0$$; 3) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; 4) $$-\frac{\sqrt3}{3}$$; 5) $$0$$; 6) $$\frac{\sqrt2}{2}$$.