Упр.29.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) x^6-3x^3-10=0; 3) (2x+1)/x+(4x)/(2x+1)=5;
2) v(x+4)+3(x+4)^(1/4)=28; 4) x^2+x-v(x^2+x-2)=8.

Подробный ответ

$$x^6-3x^3-10=0$$
Сделаем замену: $$y=x^3.$$ Тогда получаем
$$y^2-3y-10=0.$$
Разложим на множители:
$$\left(y-5\right)\left(y+2\right)=0.$$
Отсюда $$y=5$$ или $$y=-2.$$ Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x^3=5 \Rightarrow x=\sqrt[3]{5},$$
$$x^3=-2 \Rightarrow x=-\sqrt[3]{2}.$$
$$\sqrt{x+4}+3\sqrt[4]{x+4}=28$$
Пусть $$y=\sqrt[4]{x+4}.$$ Тогда $$y^2=\sqrt{x+4},$$ и уравнение принимает вид
$$y^2+3y=28.$$
Получаем квадратное уравнение:
$$y^2+3y-28=0.$$
$$\left(y-4\right)\left(y+7\right)=0,$$
значит, $$y=4$$ или $$y=-7.$$
Так как $$y=\sqrt[4]{x+4}\ge 0,$$ подходит только $$y=4.$$ Тогда
$$\sqrt[4]{x+4}=4,$$
$$x+4=4^4=256,$$
$$x=252.$$
$$\frac{2x+1}{x}+\frac{4x}{2x+1}=5$$
Пусть $$y=\frac{2x+1}{x}.$$ Тогда
$$y+\frac{4}{y}=5.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-5y+4=0.$$
$$\left(y-1\right)\left(y-4\right)=0,$$
значит, $$y=1$$ или $$y=4.$$
1) $$\frac{2x+1}{x}=1 \Rightarrow 2x+1=x \Rightarrow x=-1.$$
2) $$\frac{2x+1}{x}=4 \Rightarrow 2x+1=4x \Rightarrow x=\frac12.$$
$$x^2+x-\sqrt{x^2+x-2}=8$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2+x-2}.$$ Тогда
$$y^2=x^2+x-2,$$
то есть $$x^2+x=y^2+2.$$ Подставим в уравнение:
$$y^2+2-y=8,$$
$$y^2-y-6=0.$$
$$\left(y-3\right)\left(y+2\right)=0,$$
значит, $$y=3$$ или $$y=-2.$$ Так как $$y=\sqrt{x^2+x-2}\ge 0,$$ берём только $$y=3.$$ Тогда
$$\sqrt{x^2+x-2}=3,$$
$$x^2+x-2=9,$$
$$x^2+x-11=0.$$
Находим корни:
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+44}}{2}=\frac{-1\pm 3\sqrt5}{2}.$$