Упр.29.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Вычислите: 1) $$\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)$$; 2) $$\tg\left(\arcsin\frac{1}{4}\right)$$.

1) Пусть $$\arcsin \frac{4}{5}=a.$$ Тогда $$-\frac{\pi}{2}\le a\le \frac{\pi}{2}, \qquad \sin a=\frac{4}{5}.$$

Так как $$a \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ то $$\cos a \ge 0,$$ значит

$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{25-16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Ответ: $$\frac{3}{5}.$$

2) Пусть $$\arcsin \frac{1}{4}=a.$$ Тогда $$-\frac{\pi}{2}\le a\le \frac{\pi}{2}, \qquad \sin a=\frac{1}{4}.$$

Найдём косинус:

$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{16-1}{16}}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}.$$

Тогда

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{1/4}{\sqrt{15}/4}=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{15}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{15}}{15}.$$