Упр.29.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Верно ли равенство:

$$\arcsin(0)=\pi$$;
$$\arcsin(-1)=\frac{3\pi}{2}$$;
$$\arcsin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)+\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$;
$$\arccos\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}$$;
$$\arccos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$$;
$$\arccos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$;
$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi$$;
$$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi^2}{12}$$;
$$\operatorname{arctg}(-1)=\frac{3\pi}{4}$$;
$$\operatorname{arctg}\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$;
$$\operatorname{arctg}(\sqrt{3})+\operatorname{arcctg}(-1)=\frac{\pi}{12}$$.

Подробный ответ

Проверим каждое равенство, используя значения обратных тригонометрических функций:

$$\arcsin 0=0,$$
значит равенство верно.
$$\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2},$$
а не $$\frac{3\pi}{2},$$ значит равенство неверно.
$$\arcsin\frac{\pi}{4}\neq \frac{\sqrt2}{2},$$
так как $$\arcsin x$$ — это угол, а не значение синуса. Равенство неверно.
$$\arcsin\frac12+\arcsin\left(-\frac12\right)=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=0,$$
значит равенство верно.
$$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},$$
а не $$-\frac{\pi}{3},$$ значит равенство неверно.
$$\arccos\frac{\pi}{2}\text{ не определено},$$
так как $$\frac{\pi}{2}\notin[-1;1].$$ Равенство неверно.
$$\arccos\frac{\pi}{3}\text{ не определено},$$
так как $$\frac{\pi}{3}\notin[-1;1].$$ Равенство неверно.
$$\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\pi,$$
значит равенство верно.
$$\arccos\frac{\sqrt2}{2}\cdot \arccos\left(-\frac12\right)=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi^2}{6},$$
а не $$-\frac{\pi^2}{12},$$ значит равенство неверно.
$$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},$$
а не $$\frac{3\pi}{4},$$ значит равенство неверно.
$$\arctg\frac{\pi}{6}\neq \frac{\sqrt3}{3},$$
так как $$\arctg x$$ — это угол, а не значение тангенса. Равенство неверно.
$$\arctg\sqrt3+\operatorname{arcctg}(-1)=\frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{4}=\frac{13\pi}{12},$$
а не $$\frac{\pi}{12},$$ значит равенство неверно.