Упр.28.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите сумму корней уравнения $$\operatorname{ctg}(2x)=-\sqrt{3}$$, принадлежащих промежутку $$[-?;\ ?/2]$$.

$$\ctg 2x=-\sqrt{3}$$

Тогда

$$2x=\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\pi n=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right].$$

При $$n=-2,-1,0$$ получаем:

$$x_1=\frac{5\pi}{12}-\pi=-\frac{7\pi}{12},$$

$$x_2=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{12},$$

$$x_3=\frac{5\pi}{12}.$$

Сумма корней:

$$x_1+x_2+x_3=-\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}=-\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

$$-\frac{\pi}{4}$$