Упр.28.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 28.9. Найдите сумму корней уравнения ctg(2x)=-v3, принадлежащих промежутку [-?; ?/2].

Решим уравнение:

$$\ctg 2x=-\sqrt{3}.$$

Тогда

$$2x=\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\pi n=\frac{5\pi}{6}+\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right].$$

При $$n=-2,-1,0$$ получаем:

$$x_1=\frac{5\pi}{12}-\pi=-\frac{7\pi}{12},$$

$$x_2=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{12},$$

$$x_3=\frac{5\pi}{12}.$$

Сумма корней:

$$x_1+x_2+x_3=-\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}=-\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

$$-\frac{\pi}{4}$$