Упр.28.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 28.8. Сколько корней уравнения ctg(x/3)=-v3/3 принадлежат промежутку [-?/2; 2?]?

Решим уравнение:

$$\ctg \frac{x}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Так как $$\ctg \frac{2\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3},$$ то

$$\frac{x}{3}=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=2\pi+3\pi n.$$

Найдём, какие из этих корней принадлежат промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\,2\pi\right].$$

Проверим значения при разных целых $$n$$:

$$n=0 \Rightarrow x=2\pi,$$

$$n=-1 \Rightarrow x=-\pi,$$

$$n=1 \Rightarrow x=5\pi.$$

На заданном промежутке лежит только корень $$x=2\pi.$$

Ответ

$$1$$