Упр.28.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Сколько корней уравнения $$\operatorname{tg}(4x)=1$$ принадлежат промежутку $$[0; ?]$$?

Решим уравнение:

$$\tg 4x=1.$$

Тогда

$$4x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$[0;\pi].$$

При $$n=0,1,2,3$$ получаем:

$$x_1=\frac{\pi}{16},\quad x_2=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{16},\quad x_3=\frac{\pi}{16}+\frac{2\pi}{4}=\frac{9\pi}{16},\quad x_4=\frac{\pi}{16}+\frac{3\pi}{4}=\frac{13\pi}{16}.$$

При $$n=4$$ уже имеем

$$x=\frac{\pi}{16}+\pi>\pi,$$

поэтому дальше корни в данный промежуток не попадают.

Ответ: 4 корня.