Упр.28.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 28.7. Сколько корней уравнения tg(4x)=1 принадлежат промежутку [0; ?]?

Решим уравнение:

$$\tg 4x=1.$$

Так как $$\tg \alpha=1$$ при

$$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

то

$$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$

Теперь найдём корни, принадлежащие промежутку $$[0;\pi].$$

При $$n=0$$ получаем:

$$x_1=\frac{\pi}{16}.$$

При $$n=1$$:

$$x_2=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{16}.$$

При $$n=2$$:

$$x_3=\frac{\pi}{16}+\frac{2\pi}{4}=\frac{9\pi}{16}.$$

При $$n=3$$:

$$x_4=\frac{\pi}{16}+\frac{3\pi}{4}=\frac{13\pi}{16}.$$

Следующее значение при $$n=4$$ уже больше $$\pi$$, поэтому других корней на данном промежутке нет.

Ответ

$$4$$ корня.