Упр.28.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$\operatorname{tg}\left(3x-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; 3) $$\sqrt{3}\operatorname{ctg}\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)+3=0$$; 2) $$\operatorname{tg}(3-2x)=2$$; 4) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
1) $$\tg\left(3x-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Так как $$\tg \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},$$ то
$$3x-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Тогда
$$3x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$
2) $$\tg(3-2x)=2$$
Преобразуем аргумент:
$$\tg(2x-3)=-2.$$
Тогда
$$2x-3=\arctg(-2)+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Следовательно,
$$2x=3-\arctg 2+\pi n,$$
$$x=\frac{3-\arctg 2}{2}+\frac{\pi n}{2}.$$
3) $$\sqrt{3}\,\ctg\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)+3=0$$
$$\sqrt{3}\,\ctg\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=-3,$$
$$\ctg\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}.$$
Так как $$\ctg \frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3},$$ то
$$5x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Отсюда
$$5x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}.$$
4) $$\ctg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Перепишем:
$$\ctg\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Так как $$\ctg \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3},$$ то
$$\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Тогда
$$\frac{x}{3}=\frac{13\pi}{12}+\pi n,$$
$$x=\frac{13\pi}{4}+3\pi n.$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z};$$
2) $$x=\frac{3-\arctg 2}{2}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z};$$
3) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb{Z};$$
4) $$x=\frac{13\pi}{4}+3\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
