Упр.28.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\operatorname{tg}\left(\frac{3}{5}x\right)=0$$;
2. $$\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right)=-\sqrt{3}$$;
3. $$\operatorname{ctg}\left(\frac{3}{2}x\right)=5$$.

1) $$\tg\left(\frac{3}{5}x\right)=0$$

Тангенс равен нулю, когда его аргумент равен $$\pi n$$, где $$n\in\mathbb{Z}$$. Тогда

$$\frac{3}{5}x=\pi n$$

$$x=\frac{5\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$\ctg\left(\frac{x}{2}\right)=-\sqrt{3}$$

Значение $$\ctg \alpha=-\sqrt{3}$$ достигается при

$$\alpha=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+\pi n$$

$$x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3) $$\ctg\left(\frac{3}{2}x\right)=5$$

Пусть

$$\frac{3}{2}x=\operatorname{arcctg} 5+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=\frac{2}{3}\operatorname{arcctg} 5+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{5\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z};$$ 2) $$x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ 3) $$x=\frac{2}{3}\operatorname{arcctg} 5+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$