Упр.28.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите функцию, обратную к данной:

• 1) $$f(x)=x^2+4,\quad x\in[0;+\infty)$$;
• 3) $$f(x)=\left(x^2\right)^{\frac{1}{3}},\quad x\in(-\infty;0]$$.
• 2) $$f(x)=x^2-1,\quad x\in(-\infty;0]$$;

1. Пусть $$y=x^2+4,$$ где $$x\in[0;+\infty).$$

   Выразим $$x$$ через $$y$$:

   $$x^2=y-4,$$

   так как $$x\ge 0,$$ получаем

   $$x=\sqrt{y-4}.$$

   Значит, обратная функция:

   $$f^{-1}(x)=\sqrt{x-4}.$$

2. Пусть $$y=x^2-1,$$ где $$x\in(-\infty;0].$$

   Тогда

   $$x^2=y+1,$$

   и, поскольку $$x\le 0,$$

   $$x=-\sqrt{y+1}.$$

   Следовательно,

   $$f^{-1}(x)=-\sqrt{x+1}.$$

3. Пусть $$y=\sqrt[3]{x^2},$$ где $$x\in(-\infty;0].$$

   Возведём обе части в куб:

   $$y^3=x^2.$$

   Так как $$x\le 0,$$ то

   $$x=-\sqrt{y^3}.$$

   Значит, обратная функция:

   $$f^{-1}(x)=-\sqrt{x^3}.$$

Ответ: $$f^{-1}(x)=\sqrt{x-4},\quad f^{-1}(x)=-\sqrt{x+1},\quad f^{-1}(x)=-\sqrt{x^3}.$$