Упр.28.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Графики каких из данных функций симметричны относительно оси ординат:

1. $$f(x)=\frac{4-x^2}{\cos(2x)}$$;
3. $$f(x)=(2-x)^{1/4}+(2+x)^{1/4}$$;
2. $$f(x)=\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}$$;
4. $$f(x)=x^2\operatorname{tg}(x)$$?

Проверим, являются ли функции чётными: для этого найдём $$f(-x)$$ и сравним с $$f(x)$$. Если $$f(-x)=f(x)$$, то график симметричен относительно оси ординат.

1)

$$f(x)=\frac{4-x^2}{\cos 2x}$$

Область определения симметрична относительно нуля, так как $$\cos 2x\neq 0$$ и при замене $$x$$ на $$-x$$ условие не меняется.

Найдём $$f(-x)$$:

$$f(-x)=\frac{4-(-x)^2}{\cos(-2x)}=\frac{4-x^2}{\cos 2x}=f(x).$$

Значит, функция чётная.

2)

$$f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}$$

Область определения симметрична относительно нуля, так как $$1+\cos x\neq 0$$.

Проверим чётность:

$$f(-x)=\frac{\sin(-x)}{1+\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{1+\cos x}=-f(x).$$

Функция нечётная, значит её график не симметричен относительно оси ординат.

3)

$$f(x)=\sqrt[4]{2-x}+\sqrt[4]{2+x}$$

Область определения:

$$2-x\ge 0,\quad 2+x\ge 0 \;\Rightarrow\; -2\le x\le 2.$$

Она симметрична относительно нуля.

Найдём $$f(-x)$$:

$$f(-x)=\sqrt[4]{2-(-x)}+\sqrt[4]{2+(-x)}=\sqrt[4]{2+x}+\sqrt[4]{2-x}=f(x).$$

Функция чётная.

4)

$$f(x)=x^2\tg x$$

Область определения симметрична относительно нуля, так как $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n$$.

Проверим:

$$f(-x)=(-x)^2\tg(-x)=x^2(-\tg x)=-x^2\tg x=-f(x).$$

Функция нечётная, значит график не симметричен относительно оси ординат.

Ответ: 1), 3).