Упр.28.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите сумму корней уравнения $$\tg\frac{x}{2}=\sqrt{3}$$, принадлежащих промежутку $$\left[-2\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$.

Решим уравнение:

$$\tg \frac{x}{2}=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\arctg \sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-2\pi;\frac{3\pi}{2}\right].$$

При $$n=-1$$ получаем

$$x_1=\frac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{4\pi}{3}.$$

При $$n=0$$ получаем

$$x_2=\frac{2\pi}{3}.$$

Сумма корней:

$$x_1+x_2=-\frac{4\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}.$$

Ответ

$$-\frac{2\pi}{3}$$