Упр.27.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) v3sin(x)+cos(x)=2; 3) 3sin(x/2)+v3cos(x/2)=3.
2) v2sin(x)-v2cos(x)=1;

1. $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2.$$

   Представим левую часть в виде одной косинусоиды:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x=1,$$

   $$\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x=1,$$

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

   Тогда

   $$x-\frac{\pi}{3}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=1.$$

   Делим обе части на $$\sqrt{2}$$:

   $$\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Запишем левую часть через синус разности:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac12,$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12.$$

   Тогда

   $$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$3\sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}=3.$$

   Делим на $$2$$:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\frac{x}{2}+\frac12\cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Используем формулу косинуса разности:

   $$\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

   $$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$