Упр.27.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sqrt{3}\sin(x)+\cos(x)=2$$; 3) $$3\sin\left(\frac{x}{2}\right)+\sqrt{3}\cos\left(\frac{x}{2}\right)=3$$; 2) $$\sqrt{2}\sin(x)-\sqrt{2}\cos(x)=1$$.

1) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=2,$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{3}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=1.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$3\sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}=3.$$

Преобразуем левую часть:

$$3\sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}=2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\frac{x}{2}+\frac12\cos\frac{x}{2}\right)=2\sqrt{3}\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\sqrt{3}\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=3,$$

$$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда получаем:

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\pi+4\pi n,$$

или

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ x=\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$