Упр.27.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите наименьший положительный корень уравнения $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Решим уравнение:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Пусть

$$x+\frac{\pi}{4}=t.$$

Тогда

$$\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Общие решения:

$$t=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad t=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x=-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+2\pi k=-\frac{7\pi}{12}+2\pi k,$$

$$x=\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{4}+2\pi k=\frac{13\pi}{12}+2\pi k.$$

Найдем наименьший положительный корень. Из первого семейства при $$k=1$$ получаем

$$x=\frac{17\pi}{12},$$

а из второго семейства при $$k=0$$ получаем

$$x=\frac{13\pi}{12}.$$

Меньший положительный корень:

$$\frac{13\pi}{12}.$$

Ответ

$$\frac{13\pi}{12}$$