Упр.27.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 27.7. Найдите наименьший положительный корень уравнения sin(x+?/4)=-v3/2.

Решим уравнение:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Пусть

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Так как

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\pi}{3},$$

то

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Рассмотрим два случая.

1) При $n=2k$:

$$x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+2\pi k=-\frac{7\pi}{12}+2\pi k.$$

2) При $n=2k+1$:

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+\pi(2k+1),$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+\pi(2k+1)=\frac{13\pi}{12}+2\pi k.$$

Наименьший положительный корень получается при $k=0$:

$$x=\frac{13\pi}{12}.$$

Ответ

$$\frac{13\pi}{12}$$