Упр.27.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(x-?/6)=v2/2; 3) sin(x/3+1)=-1;
2) sin(?/8-x)=v3/2; 4) v2sin(?/12-3x)-1=0.

1. $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда
   $$x-\frac{\pi}{6}=(-1)^n\cdot\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,
   $$x=\frac{\pi}{6}+(-1)^n\cdot\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right)=\frac{\sqrt3}{2}$$

   Перепишем:
   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда
   $$x-\frac{\pi}{8}=(-1)^n\cdot\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   то есть
   $$x-\frac{\pi}{8}=(-1)^{n+1}\cdot\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

   Следовательно,
   $$x=\frac{\pi}{8}+(-1)^{n+1}\cdot\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin\left(\frac{x}{3}+1\right)=-1$$

   Тогда
   $$\frac{x}{3}+1=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда
   $$\frac{x}{3}=-1-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
   $$x=-3-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)-1=0$$

   Тогда
   $$\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Перепишем:
   $$\sin\left(3x-\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно,
   $$3x-\frac{\pi}{12}=(-1)^n\cdot\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   то есть
   $$3x-\frac{\pi}{12}=(-1)^{n+1}\cdot\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{36}+(-1)^{n+1}\cdot\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{6}+(-1)^n\cdot\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$x=\frac{\pi}{8}+(-1)^{n+1}\cdot\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$x=-3-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
4) $$x=\frac{\pi}{36}+(-1)^{n+1}\cdot\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$