Упр.27.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sin(2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 2) $$\sin\left(\frac{x}{7}\right)=0$$; 3) $$\sin\left(\frac{2x}{5}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

1) $$\sin 2x=\frac{\sqrt2}{2}$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n,$$

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin\frac{x}{7}=0$$

Следовательно,

$$\frac{x}{7}=\pi n,$$

$$x=7\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin\frac{2x}{5}=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Тогда

$$\frac{2x}{5}=(-1)^n\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\pi n,$$

$$\frac{2x}{5}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,$$

$$2x=(-1)^{n+1}\frac{5\pi}{3}+5\pi n,$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{5\pi}{6}+\frac{5\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=7\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=(-1)^{n+1}\frac{5\pi}{6}+\frac{5\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$