Упр.27.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sin(x/6)=-1/2$$;
   2) $$\sin(5x)=1$$;
   3) $$\sin(-8x)=2/9$$.

1) $$\sin\frac{x}{6}=-\frac12.$$

Для уравнения $$\sin t=a$$ имеем общий вид решения:

$$t=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{x}{6}=(-1)^n\arcsin\left(-\frac12\right)+\pi n.$$

Так как $$\arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6},$$ получаем

$$\frac{x}{6}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

откуда

$$x=(-1)^{n+1}\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin 5x=1.$$

Значение синуса равно $$1$$ при

$$5x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin(-8x)=\frac29.$$

Используем нечётность синуса:

$$\sin 8x=-\frac29.$$

Тогда

$$8x=(-1)^n\arcsin\left(-\frac29\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как $$\arcsin\left(-\frac29\right)=-\arcsin\frac29,$$ получаем

$$8x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac29+\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{(-1)^{n+1}}{8}\arcsin\frac29+\frac{\pi n}{8},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^{n+1}\pi+6\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ 2) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z;$$ 3) $$x=\frac{(-1)^{n+1}}{8}\arcsin\frac29+\frac{\pi n}{8},\ n\in\mathbb Z.$$