Упр.27.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$x-\sqrt{x-1}=3$$; 3) $$\sqrt{3x+4}\cdot\sqrt{2x-5}=2x+1$$; 2) $$\sqrt{1+4x-x^2}+1=x$$; 4) $$\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{5+x}}=\sqrt{5+x}$$.

1) $$x-\sqrt{x-1}=3$$

$$\sqrt{x-1}=x-3$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x-1=x^2-6x+9$$

$$x^2-7x+10=0$$

$$D=49-40=9$$

$$x_1=\frac{7-3}{2}=2,\qquad x_2=\frac{7+3}{2}=5$$

Проверим область допустимых значений:

$$x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1,\qquad x-3\ge 0 \Rightarrow x\ge 3$$

Подходит только $$x=5$$.

2) $$\sqrt{1+4x-x^2}+1=x$$

$$\sqrt{1+4x-x^2}=x-1$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1+4x-x^2=x^2-2x+1$$

$$2x^2-6x=0$$

$$x^2-3x=0$$

$$x(x-3)=0$$

$$x_1=0,\qquad x_2=3$$

Проверка:

$$x=0:\ \sqrt{1}-1=0\ \text{— не подходит}$$

$$x=3:\ \sqrt{4}+1=3\ \text{— подходит}$$

3) $$\sqrt{3x+4}\cdot\sqrt{2x-5}=2x+1$$

$$\sqrt{(3x+4)(2x-5)}=2x+1$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(3x+4)(2x-5)=(2x+1)^2$$

$$6x^2-15x+8x-20=4x^2+4x+1$$

$$2x^2-11x-21=0$$

$$D=121+168=289$$

$$x_1=\frac{11-17}{4}=-\frac{3}{2},\qquad x_2=\frac{11+17}{4}=7$$

Проверим ОДЗ:

$$3x+4\ge 0,\qquad 2x-5\ge 0,\qquad 2x+1\ge 0$$

Отсюда $$x\ge \frac52$$. Подходит только $$x=7$$.

4) $$\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{5+x}}=\sqrt{5+x}$$

Перенесём дробь вправо:

$$\sqrt{5+x}-\frac{3}{\sqrt{5+x}}=\sqrt{x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$5+x-2\cdot \frac{3}{\sqrt{5+x}}\cdot \sqrt{5+x}+\frac{9}{5+x}=x$$

$$5+x-6+\frac{9}{5+x}=x$$

$$\frac{9}{5+x}-1=0$$

$$\frac{9}{5+x}=1$$

$$9=5+x$$

$$x=4$$

Проверка ОДЗ:

$$x\ge 0,\qquad 5+x>0$$

Значение $$x=4$$ подходит.

Ответ

1) $$5$$; 2) $$3$$; 3) $$7$$; 4) $$4$$.