Упр.27.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ имеет решения уравнение $$\left(a+4\right)\sin^2(2x)=a^2-16$$?

Рассмотрим уравнение

$$(a+4)\sin^2 2x=a^2-16.$$

Разложим правую часть на множители:

$$a^2-16=(a-4)(a+4).$$

Тогда

$$(a+4)\sin^2 2x=(a-4)(a+4).$$

Если $$a+4\ne 0,$$ то можно разделить обе части на $$a+4$$:

$$\sin^2 2x=a-4.$$

Так как $$0\le \sin^2 2x\le 1,$$ то должно выполняться

$$0\le a-4\le 1.$$

Отсюда

$$4\le a\le 5.$$

Если $$a+4=0,$$ то $$a=-4,$$ и исходное уравнение принимает вид

$$0=0,$$

то есть имеет решения при любом $$x.$$

Следовательно, уравнение имеет решения при

$$a\in \{-4\}\cup [4;5].$$

Ответ

$$a\in \{-4\}\cup [4;5].$$