Упр.27.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 27.14. При каких значениях a имеет решения уравнение (a+4)sin^2(2x)=a^2-16?

Преобразуем правую часть:

$$a^2-16=(a-4)(a+4).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$ (a+4)\sin^2 2x=(a-4)(a+4). $$

Рассмотрим два случая.

1. $$a+4=0$$

   Тогда $$a=-4$$, и уравнение превращается в верное равенство $$0=0$$, значит, решения есть.

2. $$a+4\neq 0$$

   Делим обе части на $$a+4$$:

   $$\sin^2 2x=a-4.$$

   Так как $$0\le \sin^2 2x\le 1$$, то должно выполняться

   $$0\le a-4\le 1.$$

   Отсюда

   $$4\le a\le 5.$$

Объединяя оба случая, получаем:

$$a\in\{-4\}\cup[4;5].$$

Ответ

$$a\in\{-4\}\cup[4;5].$$