Упр.27.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 27.13. При каких значениях a имеет решения уравнение (a^2-1)sin(x)=a+1?

Преобразуем уравнение:

$$ (a^2-1)\sin x=a+1 $$

$$ (a+1)(a-1)\sin x=a+1 $$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$a=-1$$, то получаем

$$ 0\cdot \sin x=0, $$

то есть уравнение имеет решения при любом $$x$$.

2) Если $$a\ne -1$$, то можно разделить обе части на $$a+1$$:

$$ (a-1)\sin x=1, $$

откуда

$$ \sin x=\frac{1}{a-1}. $$

Чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы

$$ -1\le \frac{1}{a-1}\le 1. $$

Это равносильно системе неравенств:

$$ \frac{1}{a-1}\ge -1,\qquad \frac{1}{a-1}\le 1. $$

Решаем их:

$$ \frac{1}{a-1}\ge -1 \iff \frac{a}{a-1}\ge 0 \iff a\le 0 \ \text{или}\ a>1; $$

$$ \frac{1}{a-1}\le 1 \iff \frac{a-2}{a-1}\ge 0 \iff a<1 \ \text{или}\ a\ge 2. $$

Пересечение полученных множеств:

$$ (a\le 0 \ \text{или}\ a>1)\cap (a<1 \ \text{или}\ a\ge 2) = (-\infty;0]\cup [2;+\infty). $$

Значение $$a=-1$$ уже входит в этот промежуток.

Ответ

$$ a\in(-\infty;0]\cup [2;+\infty). $$