Упр.27.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ имеет решения уравнение $$\left(a^2-1\right)\sin x=a+1$$?

Рассмотрим уравнение:

$$\left(a^2-1\right)\sin x=a+1.$$

Если $$a\neq \pm 1,$$ то можно разделить обе части на $$a^2-1=(a+1)(a-1):$$

$$\sin x=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}=\frac{1}{a-1}.$$

Чтобы уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы

$$-1\le \frac{1}{a-1}\le 1.$$

Решим систему неравенств:

$$\frac{1}{a-1}\ge -1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{a}{a-1}\ge 0,$$

откуда

$$a\le 0 \quad \text{или} \quad a>1.$$

Далее:

$$\frac{1}{a-1}\le 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{a-2}{a-1}\ge 0,$$

откуда

$$a<1 \quad \text{или} \quad a\ge 2.$$

Пересечение полученных множеств:

$$a\in(-\infty;0]\cup[2;+\infty).$$

При $$a=-1$$ и $$a=1$$ исходное уравнение также не имеет противоречий с найденным ответом: при $$a=-1$$ получаем тождество $$0=0,$$ а при $$a=1$$ — уравнение $$0=2,$$ которое решений не имеет. Поэтому окончательно:

Ответ: $$a\in(-\infty;0]\cup[2;+\infty).$$