Упр.27.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Сколько корней уравнения $$\sin(3x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ принадлежит промежутку $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$?

Решим уравнение:

$$\sin 3x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$3x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда получаем два семейства корней:

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Для первого семейства:

$$\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}\in\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Подходят значения:

$$-\frac{5\pi}{4},\ -\frac{7\pi}{12},\ \frac{\pi}{12}.$$

Для второго семейства:

$$\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi k}{3}\in\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Подходят значения:

$$-\frac{13\pi}{12},\ -\frac{5\pi}{12},\ \frac{\pi}{4}.$$

Всего на данном промежутке 6 корней.

Ответ: 6.