Упр.27.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 27.11. Найдите все корни уравнения sin(x-?/3)=1/2, принадлежащие промежутку [-?; 3?/2].

Решим уравнение:

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Общее решение для синуса:

$$x-\frac{\pi}{3}=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как $$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},$$ получаем:

$$x-\frac{\pi}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Рассмотрим два случая.

1) При $$n=2k$$:

$$x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi k,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k.$$

2) При $$n=2k+1$$:

$$x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+\pi(2k+1),$$

$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k.$$

Теперь найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\pi;\frac{3\pi}{2}\right].$$

Из первой серии подходит:

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

Из второй серии при $$k=-1$$ получаем:

$$x=\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6},$$

а при $$k=0$$:

$$x=\frac{7\pi}{6}.$$

Других значений на данном промежутке нет.

Ответ

$$-\frac{5\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{6}$$