Упр.27.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(x)-v3cos(x)=1; 2) sin(x)+cos(x)=v2.

1. $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$$

   Разделим обе части на $$2$$:

   $$\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x=\frac12$$

   Заметим, что

   $$\frac12=\sin\frac{\pi}{6}, \qquad \frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}$$

   Тогда

   $$\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}=\frac12$$

   то есть

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12$$

   Отсюда

   $$x-\frac{\pi}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   или в виде двух серий:

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\sin x+\cos x=\sqrt2$$

   Разделим обе части на $$\sqrt2$$:

   $$\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x=1$$

   Так как

   $$\frac{\sqrt2}{2}=\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4},$$

   получаем

   $$\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}=1$$

   то есть

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$

   Следовательно,

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   и

   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.