Упр.27.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 2) $$\sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$; 3) $$\sin(x)=\frac{1}{4}$$; 4) $$\sin(x)=\sqrt{2}$$.

1) $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$$

Для уравнения $$\sin x=a$$ общее решение имеет вид $$x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\pi n=(-1)^n\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\pi n.$$

Это можно записать так:

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin x=\frac14$$

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\sin x=\sqrt2$$

Так как $$|\sin x|\le 1$$, а $$\sqrt2>1$$, то уравнение не имеет корней.

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

3) $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

4) корней нет.