Упр.26.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Сколько корней уравнения $$\cos(3x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ принадлежат промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$?

Решим уравнение:

$$\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$3x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Делим на $$3$$:

$$x=\pm \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right].$$

При $$n=0$$ получаем:

$$x_1=-\frac{\pi}{18},\qquad x_2=\frac{\pi}{18}.$$

При $$n=1$$:

$$x_3=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}=\frac{11\pi}{18},\qquad x_4=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}=\frac{13\pi}{18}.$$

При $$n=-1$$ значения уже меньше $$-\frac{\pi}{2},$$ а при $$n=2$$ — больше $$\pi.$$

Следовательно, на данном промежутке уравнение имеет 4 корня.

Ответ: 4.