Упр.26.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 26.9. Сколько корней уравнения cos(3x)=v3/2 принадлежат промежутку [-?/2; ?]?

Решим уравнение:

$$\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$3x=\pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n,$$

$$3x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right].$$

При $$n=0$$ получаем:

$$x_1=-\frac{\pi}{18}, \quad x_2=\frac{\pi}{18}.$$

При $$n=1$$ получаем:

$$x_3=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}=\frac{11\pi}{18},$$

$$x_4=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}=\frac{13\pi}{18}.$$

При других значениях $$n$$ корни уже не попадают в указанный промежуток.

Ответ

4 корня.